机械设计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

齿轮与齿轮系

啮合齿轮
n1·N1 = n2·N2
扭矩
T2 = T1·(N2/N1)·η
功率
P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系
总传动比 = 各级传动比之积

轴的扭转

切应力
τ = T·r/J
实心轴
J = πd⁴/32
空心轴
J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角
φ = TL/(GJ)
功率
P = T·ω = 2πnT/60

方法

  1. 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
  2. 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
  3. 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
  4. 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

莫尔圆与应力变换

圆心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主应力
σ1,2 = C ± R
主方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜截面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

方法

  1. 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
  2. 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
  4. 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

轴向应力与应变

正应力
σ = F/A
应变
ε = ΔL/L
胡克定律
σ = E·ε
伸长量
ΔL = FL/(EA)
热应变
εT = α·ΔT

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

机械振动

固有频率
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
由静挠度求
ωn = √(g/δst)
临界阻尼
cc = 2√(km) = 2mωn
阻尼比
ζ = c/cc
阻尼固有频率
ωd = ωn√(1 − ζ²)
对数衰减率
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联
k = k1 + k2
弹簧串联
1/k = 1/k1 + 1/k2

2练习题

1.齿轮与齿轮系中等
N1​N2​ = ?

两根平行轴相距 150 mm。须用一对模数为 3 mm、减速比为 4 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。 大齿轮须有多少个齿 N2？

a = 150 mmm = 3 mmi = 4
N2 =
2.齿轮与齿轮系困难
A = 16B = 48C = 25D = 80

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（16 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（48 齿）。齿轮 C（25 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（80 齿）。求输出转速 nout。

nin = 3000 rpmA = 16B = 48C = 25D = 80
nout = rpm
3.轴的扭转中等
do​ = ?T = 2000 N·m

一根空心轴须承受 2000 N·m 的扭矩。 其内径为外径的 0.8 倍，切应力不得超过 60 MPa。求最小外径 do。

T = 2000 N·mdi/do = 0.8τallow = 60 MPa
do = mm
4.轴的扭转困难
d = ?10 kW, 750 rpm

一根实心铝轴在 750 rpm 下传递 10 kW。切应力不得超过 75 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 0.25°。求同时满足两个限值的最小直径 d。

P = 10 kWN = 750 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.25°/mG = 26 GPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
σx​ = −80σy​ = −40τxy​ = −40MPa

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −80 MPa，σᵧ = −40 MPa，τₓᵧ = −40 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。

σx = −80 MPaσy = −40 MPaτxy = −40 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
σx​ = −80σy​ = 20τxy​ = 60MPa

受载零件中某点的应力为 σₓ = −80 MPa，σᵧ = 20 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 30° 的截面上的正应力 σθ。

σx = −80 MPaσy = 20 MPaτxy = 60 MPaθ = 30°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
P = ?12600 mm300 mmØ40Ø40δ = 0.25 mm

一根杆由一段钢（直径 40 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 40 mm，长 300 mm，E = 70 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.25 mm 的轴向载荷 P。

第 1 段: 钢, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø40 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
8.轴向应力与应变困难
P = ?Ø2070 GPaØ120/70600 mm

一根钢杆（直径 20 mm，E = 200 GPa，许用应力 250 MPa）放在一根铝管（外径 120 mm，内径 70 mm，E = 70 GPa，许用应力 70 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。

杆: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
9.柱的屈曲中等
PL = 1.5 m20 × 50 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 5 kNL = 3 md = ?横截面

一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 5 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。

P = 5 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
k = 15 kN/mζ = 0.7m = 150 kg

一个 150 kg 的质量块挂在刚度为 15 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.7。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。

m = 150 kgk = 15 kN/mζ = 0.7
fd = Hz
12.机械振动困难
k1​ = 20k2​ = 30m = 100 kg

一个 100 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 20 kN/m 和 k₂ = 30 kN/m。质量块保持水平。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。

m = 100 kgk1 = 20 kN/mk2 = 30 kN/m
keq = kN/m

3溶液

1.齿轮与齿轮系

答案: N2 = 80

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.

总齿数

N1 + N2 = 2a/m = 2·150/3 = 100

按传动比分配

N1 = 100/(1 + 4) = 20
N2 = 4·20 = 80

答案

N2 = 80
2.齿轮与齿轮系

答案: nout = 312.5 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

nB = 3000·16/48 = 1000 rpm = nC

第二级

nout = 1000·25/80 = 312.5 rpm

答案

nout = 312.5 rpm

总传动比 = 9.6 : 1

3.轴的扭转

答案: do = 66 mm

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

由容许应力求外径

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·60·0.5904)) = 66 mm
di = 0.8·66 = 52.8 mm

答案

do = 66 mm

实心轴需要 d = 55.37 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。

4.轴的扭转

答案: d = 58.15 mm

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 10000/78.54 = 127.3 N·m

按强度求直径

T = 127.3 N·m = 127324 N·mm
dτ = ∛(16·127324/(π·75)) = 20.52 mm

按刚度求直径

θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·127324/(π·26000·4.363 × 10⁻⁶))1/4 = 58.15 mm

控制直径

两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。

d = max(20.52, 58.15) = 58.15 mm

答案

d = 58.15 mm

这里由刚度控制。

5.莫尔圆与应力变换

答案: τabs = 52.36 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。

στxyCσ1​σ2​

面内主应力

C = −60 MPa, R = √((−20)² + (−40)²) = 44.72 MPa
σ1 = −15.28 MPa, σ2 = −104.7 MPa, σz = 0

三个圆中最大的

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(89.44, 15.28, 104.7)/2 = 52.36 MPa

答案

τabs = 52.36 MPa

这里由面外的圆控制：绝对最大值大于面内最大值 R。

6.莫尔圆与应力变换

答案: σθ = −3.038 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

变换公式

σθ = −30 + −50·0.5 + 60·0.866 = −3.038 MPa

答案

σθ = −3.038 MPa
7.轴向应力与应变

答案: P = 43.12 kN

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

柔度

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2.387 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·1257) = 3.41 × 10⁻⁶ mm/N

载荷

P = 0.25/5.798 × 10⁻⁶ = 43120 N = 43.12 kN

答案

P = 43.12 kN
8.轴向应力与应变

答案: Pmax = 585.1 kN

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·7461 = 5.851 × 10⁸ N

控制应变

ε = min(0.00125, 0.001) = 0.001 (铝)

最大载荷

Pmax = 0.001·5.851 × 10⁸ = 585122 N = 585.1 kN

答案

Pmax = 585.1 kN
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 20.89 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/1050² = 20888 N = 20.89 kN

答案

Pcr = 20.89 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 25.97 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2·5000 = 10000 N
KL = 0.7·3000 = 2100 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·10000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 25.97 mm

答案

d = 25.97 mm

校核：长细比 KL/r 为 323.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.机械振动

答案: fd = 1.137 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ωn = √(15000/150) = 10 rad/s
fn = 10/(2π) = 1.592 Hz

有阻尼固有频率

fd = fn·√(1 − ζ²) = 1.592·√(1 − 0.7²) = 1.137 Hz

答案

fd = 1.137 Hz
12.机械振动

答案: keq = 50 kN/m

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。

keq = 20 + 30 = 50 kN/m

答案

keq = 50 kN/m

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