齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 11 kW 的电动机以 1500 rpm 运转，驱动一个齿数为 25 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 60 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 96%。 求齿轮轴上的输出扭矩 T2。
P = 11 kWn1 = 1500 rpmN1 = 25N2 = 60η = 96%
T2 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带把一个以 1500 rpm 转动、直径 200 mm 的主动轮与一个 400 mm 的带轮相连；中心距为 1000 mm。摩擦系数为 0.25，紧边张力不得超过 1000 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。
d1 = 200 mmn1 = 1500 rpmd2 = 400 mmC = 1000 mmμ = 0.25T1 = 1000 N
P = kW
3.轴的扭转中等
一根长 2 m 的实心钢轴承受 1000 N·m 的扭矩。两端之间的扭转角不得超过 1°。求满足该限值的最小直径 d。
T = 1000 N·mL = 2 mG = 80 GPaφallow = 1°
d = mm
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 1450 rpm 下传递 15 kW，且切应力不超过 80 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 15 kWN = 1450 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 60 MPa，σᵧ = 100 MPa，τₓᵧ = −10 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。
σx = 60 MPaσy = 100 MPaτxy = −10 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 160 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = 40 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 60° 的截面上的切应力 τθ（正方向与 τₓᵧ 相同）。
σx = 160 MPaσy = 30 MPaτxy = 40 MPaθ = 60°
τθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 25 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 40 mm，长 400 mm，E = 110 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.25 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø40 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 40 kN第 1 段：Ø30 mm，1.5 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø12 mm，1.5 m，钢（E = 200 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 10 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 10 kNn = 2.5L = 6 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
一个 80 kg 的质量块挂在刚度为 40 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.7。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 80 kgk = 40 kN/mζ = 0.7
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 50 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 20 kN/m，下弹簧 k₂ = 100 kN/m。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 50 kgk1 = 20 kN/mk2 = 100 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T2 = 161.3 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 11000/157.1 = 70.03 N·m
输出扭矩
T2 = 70.03·60/25·0.96 = 161.3 N·m
答案
T2 = 161.3 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: P = 8.178 kW
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
包角
θ = 2.941 rad
松边张力
eμθ = e0.7353 = 2.086, T₂ = 1000/2.086 = 479.4 N
功率
P = (1000 − 479.4)·15.71 = 8.178 kW
答案
P = 8.178 kW
3.轴的扭转
答案: d = 61.8 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
所需的极惯性矩
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 1·π/180 = 0.01745 rad
J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·2000/(80000·0.01745) = 1.432 × 10⁶ mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 61.8 mm
答案
d = 61.8 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
4.轴的扭转
答案: d = 18.46 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 15000/151.8 = 98.79 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·98786/(π·80)) = 18.46 mm
答案
d = 18.46 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.莫尔圆与应力变换
答案: τabs = 51.18 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。
面内主应力
C = 80 MPa, R = √((−20)² + (−10)²) = 22.36 MPa
σ1 = 102.4 MPa, σ2 = 57.64 MPa, σz = 0
三个圆中最大的
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(44.72, 102.4, 57.64)/2 = 51.18 MPa
答案
τabs = 51.18 MPa
这里由面外的圆控制：绝对最大值大于面内最大值 R。
6.莫尔圆与应力变换
答案: τθ = −76.29 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
τθ = −65·0.866 + 40·−0.5 = −76.29 MPa
答案
τθ = −76.29 MPa
7.轴向应力与应变
答案: P = 27.76 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1257 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490.9) = 6.112 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·1257) = 2.894 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.25/9.005 × 10⁻⁶ = 27762 N = 27.76 kN
答案
P = 27.76 kN
8.轴向应力与应变
答案: σmax = 353.7 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 56.59 MPa
σ2 = 353.7 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 353.7 MPa
答案
σmax = 353.7 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 2.481 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
计算长度
KL = 2·5000 = 10000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/10000² = 2481 N = 2.481 kN
答案
Pcr = 2.481 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 39.04 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·10000 = 25000 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·25000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 39.04 mm
答案
d = 39.04 mm
校核：长细比 KL/r 为 307.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: fd = 2.542 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(40000/80) = 22.36 rad/s
fn = 22.36/(2π) = 3.559 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 3.559·√(1 − 0.7²) = 2.542 Hz
答案
fd = 2.542 Hz
12.机械振动
答案: fn = 2.906 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/20 + 1/100 → keq = 20·100/(20 + 100) = 16.67 kN/m
固有频率
ωn = √(16667/50) = 18.26 rad/s
fn = 18.26/(2π) = 2.906 Hz
答案
fn = 2.906 Hz
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