齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 2.2 kW 的电动机以 1500 rpm 运转，驱动一个齿数为 36 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 72 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 97%。 求齿轮轴上的输出扭矩 T2。
P = 2.2 kWn1 = 1500 rpmN1 = 36N2 = 72η = 97%
T2 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带把一个以 2880 rpm 转动、直径 120 mm 的主动轮与一个 250 mm 的带轮相连；中心距为 600 mm。摩擦系数为 0.35，紧边张力不得超过 1000 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。
d1 = 120 mmn1 = 2880 rpmd2 = 250 mmC = 600 mmμ = 0.35T1 = 1000 N
P = kW
3.轴的扭转中等
在扭转试验中，一根直径 15 mm 的实心试件受 75 N·m 的扭矩作用。标距 250 mm 两端的相对转角为 2.7°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。
T = 75 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 2.7°
G = GPa
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 500 rpm 下传递 5 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 5 kWN = 500 rpmdo = 50 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −50 MPa，σᵧ = 50 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = −50 MPaσy = 50 MPaτxy = 60 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 0 MPa，σᵧ = −30 MPa，τₓᵧ = −30 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 30° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 0 MPaσy = −30 MPaτxy = −30 MPaθ = -30°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
求铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 75 kNd = 30 mmL = 3 mE = 117 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 55 kN第 1 段：Ø40 mm，1 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø20 mm，1.5 m，黄铜（E = 100 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 85 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 85 kNn = 2.5L = 3 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
一个 25 kg 的质量块由刚度为 80 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 850 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 25 kgk = 80 kN/mc = 850 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 40 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 100 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 25 kN/m 和 k₂ = 12 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 40 kgk1 = 25 kN/mk2 = 12 kN/mk3 = 100 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T2 = 27.17 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/157.1 = 14.01 N·m
输出扭矩
T2 = 14.01·72/36·0.97 = 27.17 N·m
答案
T2 = 27.17 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: P = 11.59 kW
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
包角
θ = 2.924 rad
松边张力
eμθ = e1.024 = 2.783, T₂ = 1000/2.783 = 359.3 N
功率
P = (1000 − 359.3)·18.1 = 11.59 kW
答案
P = 11.59 kW
3.轴的扭转
答案: G = 80.06 GPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩和角度
J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 2.7·π/180 = 0.04712 rad
剪切模量
T = 75 N·m = 75000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 75000·250/(4970·0.04712) = 80056 MPa
G = 80.06 GPa
答案
G = 80.06 GPa
作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。
4.轴的扭转
答案: τmax = 4.47 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 5000/52.36 = 95.49 N·m
极惯性矩
J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 95493·25/534071 = 4.47 MPa
答案
τmax = 4.47 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 64.9 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·60, −50 − 50) = 129.8°
单元体上的角度
θp = 64.9°
答案
θp = 64.9°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 18.48 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = −15 + 15·0.5 + −30·−0.866 = 18.48 MPa
答案
σθ = 18.48 MPa
7.轴向应力与应变
答案: ε = 906.9 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 75·1000/706.9 = 106.1 MPa
应变（胡克定律）
E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 106.1/117000 = 0.0009069 = 906.9 µε
答案
ε = 906.9 µε
8.轴向应力与应变
答案: σmax = 175.1 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 43.77 MPa
σ2 = 175.1 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 175.1 MPa
答案
σmax = 175.1 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 11.51 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴
计算长度
KL = 1·2500 = 2500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/2500² = 11515 N = 11.51 kN
答案
Pcr = 11.51 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 66.65 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·85000 = 212500 N
KL = 1·3000 = 3000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·212500·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 66.65 mm
答案
d = 66.65 mm
校核：长细比 KL/r 为 180，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.3005
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(80000·25) = 2828 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 850/2828 = 0.3005
答案
ζ = 0.3005
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: fn = 4.136 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 25 + 12 = 37 kN/m
keq = 37·100/(37 + 100) = 27.01 kN/m
固有频率
ωn = √(27007/40) = 25.98 rad/s
fn = 25.98/(2π) = 4.136 Hz
答案
fn = 4.136 Hz
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