机械设计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.齿轮与齿轮系中等

一台 11 kW 的电动机以 2900 rpm 运转，驱动一个齿数为 18 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 30 的大齿轮啮合。忽略损失。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 11 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 18N₂ = 30η = 100%

T₁ = N·m

2.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（12 齿）以 2900 rpm 转动，驱动齿轮 B（80 齿）。齿轮 C（18 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（40 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 2900 rpmA = 12B = 80C = 18D = 40

n_out = rpm

3.轴的扭转中等

一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。

T = 500 N·md = 50 mmL = 1.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.轴的扭转困难

一根实心轴需在 1450 rpm 下传递 75 kW，且切应力不超过 50 MPa。求满足要求的最小直径 d。

P = 75 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.莫尔圆与应力变换中等

受载零件中某点的应力为 σₓ = 120 MPa，σᵧ = −60 MPa，τₓᵧ = −10 MPa（拉为正）。求面内最大切应力 τ_max。

σ_x = 120 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

6.莫尔圆与应力变换困难

受载零件中某点的应力为 σₓ = 80 MPa，σᵧ = −40 MPa，τₓᵧ = −60 MPa（拉为正）。求法线由 x 轴逆时针转过 20° 的截面上的切应力 τ_θ（正方向与 τₓᵧ 相同）。

σ_x = 80 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

7.轴向应力与应变中等

求铝杆在轴向荷载下的伸长量 δ。

P = 15 kNd = 25 mmL = 1 mE = 70 GPa

δ = mm

8.轴向应力与应变困难

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。

P = 95 kN第 1 段：Ø35 mm，1 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø12 mm，1 m，铜（E = 117 GPa）

δ = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 6 mE = 70 GPa (铝)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 12 mm 之后一个周期出现峰值 9.3 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 12 mmx₁ = 9.3 mmn = 1

ζ =

12.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 20 kN/m。质量块保持水平。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 40 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 36.22 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/303.7 = 36.22 N·m

答案

T₁ = 36.22 N·m

2.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 195.8 rpm

第一级

n_B = 2900·12/80 = 435 rpm = n_C

第二级

n_out = 435·18/40 = 195.8 rpm

答案

n_out = 195.8 rpm

总传动比 = 14.81 : 1

3.轴的扭转

答案: φ = 0.8754 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

扭转角

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1500/(80000·613592) = 0.01528 rad

φ = 0.01528·180/π = 0.8754°

答案

φ = 0.8754°

4.轴的扭转

答案: d = 36.92 mm

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 75000/151.8 = 493.9 N·m

由许用应力求直径

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·493929/(π·50)) = 36.92 mm

答案

d = 36.92 mm

实际中会向上取到下一个标准尺寸。

5.莫尔圆与应力变换

答案: τ_max = 90.55 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

莫尔圆半径

τ_max = R = √(((120 − −60)/2)² + −10²) = 90.55 MPa

答案

τ_max = 90.55 MPa

6.莫尔圆与应力变换

答案: τ_θ = −84.53 MPa

变换公式

τ_θ = −60·0.6428 + −60·0.766 = −84.53 MPa

答案

τ_θ = −84.53 MPa

7.轴向应力与应变

答案: δ = 0.4365 mm

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 15·1000/490.9 = 30.56 MPa

应变（胡克定律）

E for 铝 = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 30.56/70000 = 0.0004365 = 436.5 µε

伸长量

δ = ε·L = 0.0004365·1000 mm = 0.4365 mm

答案

δ = 0.4365 mm

8.轴向应力与应变

答案: δ = 8.023 mm

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 98.74 MPa

σ₂ = 840 MPa

叠加各段伸长量

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 98.74·1000/117000 = 0.8439 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 840·1000/117000 = 7.179 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8.023 mm

答案

δ = 8.023 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 32.75 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/3000² = 32752 N = 32.75 kN

答案

P_cr = 32.75 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 11.99 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/12.5 = 240

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11.99 MPa

答案

σ_cr = 11.99 MPa

11.机械振动

答案: ζ = 0.04053

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/1)·ln(12/9.3) = 0.2549

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2549/√(39.48 + 0.06497) = 0.04053

答案

ζ = 0.04053

12.机械振动

答案: f_n = 4.502 Hz

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 12 + 20 = 32 kN/m

固有频率

ω_n = √(32000/40) = 28.28 rad/s

f_n = 28.28/(2π) = 4.502 Hz

答案

f_n = 4.502 Hz

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