齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
两根平行轴相距 108 mm。须用一对模数为 2 mm、减速比为 5 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。 小齿轮须有多少个齿 N1？
a = 108 mmm = 2 mmi = 5
N1 =
2.齿轮与齿轮系困难
在一个行星齿轮系中，太阳轮有 20 个齿，每个行星轮有 30 个齿。齿圈固定，太阳轮以 600 rpm 驱动。求行星架的转速 nc。
Ns = 20Np = 30ns = 600 rpm
nc = rpm
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 100 N·md = 50 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴须在 1800 rpm 下传递 50 kW。 其内径为外径的 0.75 倍，切应力不得超过 75 MPa。求最小外径 do。
P = 50 kWN = 1800 rpmdi/do = 0.75τallow = 75 MPa
do = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 90 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = −20 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θs（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。
σx = 90 MPaσy = −30 MPaτxy = −20 MPa
θs = °
6.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 150 MPa，σᵧ = 60 MPa，τₓᵧ = −20 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 250 MPa。按特雷斯卡（最大切应力）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = 150 MPaσy = 60 MPaτxy = −20 MPaσY = 250 MPa
n =
7.轴向应力与应变中等
求黄铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 90 kNd = 12 mmL = 1.5 mE = 100 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 100 kN第 1 段：Ø25 mm，0.5 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø20 mm，1 m，钢（E = 200 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 15 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 15 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 20 mm 之后 2 个周期出现峰值 4.4 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 20 mmx2 = 4.4 mmn = 2
ζ =
12.机械振动困难
一个 5 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 5 kN/m 和 k₂ = 80 kN/m。质量块保持水平。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 5 kgk1 = 5 kN/mk2 = 80 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: N1 = 18
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
总齿数
N1 + N2 = 2a/m = 2·108/2 = 108
按传动比分配
N1 = 108/(1 + 5) = 18
答案
N1 = 18
2.齿轮与齿轮系
答案: nc = 120 rpm
行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。
齿圈齿数
Nr = Ns + 2·Np = 20 + 2·30 = 80
齿圈固定时的威利斯方程
令 nr = 0，求行星架的转速。
(600 − nc)/(0 − nc) = −80/20
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 600·20/100 = 120 rpm
答案
nc = 120 rpm
行星架与太阳轮转向相同。
3.轴的扭转
答案: φ = 0.7183 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(26000·613592) = 0.01254 rad
φ = 0.01254·180/π = 0.7183°
答案
φ = 0.7183°
4.轴的扭转
答案: do = 29.76 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 50000/188.5 = 265.3 N·m
由容许应力求外径
T = 265.3 N·m = 265258 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·265258/(π·75·0.6836)) = 29.76 mm
di = 0.75·29.76 = 22.32 mm
答案
do = 29.76 mm
实心轴需要 d = 26.21 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
5.莫尔圆与应力变换
答案: θs = −54.22 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。
cos 2θs = −20/63.25 = −0.3162, sin 2θs = −60/63.25 = −0.9487
2θs = atan2(−60, −20) = −108.4°
单元体上的角度
θs = −54.22°
校核: θs − θp = −54.22 − (−9.217) = −45°
答案
θs = −54.22°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: n = 1.621
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 105 MPa, R = 49.24 MPa
σ1 = 154.2 MPa, σ2 = 55.76 MPa, σ3 = 0
特雷斯卡
σmax − σmin = 154.2 MPa
n = 250/154.2 = 1.621
答案
n = 1.621
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
7.轴向应力与应变
答案: δ = 11.94 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 90·1000/113.1 = 795.8 MPa
应变（胡克定律）
E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 795.8/100000 = 0.007958 = 7958 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.007958·1500 mm = 11.94 mm
答案
δ = 11.94 mm
8.轴向应力与应变
答案: σmax = 318.3 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 203.7 MPa
σ2 = 318.3 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 318.3 MPa
答案
σmax = 318.3 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 82.25 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴
计算长度
KL = 2·2500 = 5000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1.042 × 10⁶/5000² = 82247 N = 82.25 kN
答案
Pcr = 82.25 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 36.92 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·15000 = 45000 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·45000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 36.92 mm
答案
d = 36.92 mm
校核：长细比 KL/r 为 216.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.1196
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/2)·ln(20/4.4) = 0.7571
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.7571/√(39.48 + 0.5731) = 0.1196
答案
ζ = 0.1196
12.机械振动
答案: fn = 20.75 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 5 + 80 = 85 kN/m
固有频率
ωn = √(85000/5) = 130.4 rad/s
fn = 130.4/(2π) = 20.75 Hz
答案
fn = 20.75 Hz
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