齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一条皮带绕在一个以 2880 rpm 转动、直径 80 mm 的主动轮上。紧边张力为 1200 N，松边张力为 480 N。求传递的功率 P，单位 kW。
d1 = 80 mmn1 = 2880 rpmT1 = 1200 NT2 = 480 N
P = kW
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带连接一个 125 mm 的带轮和一个 500 mm 的带轮，二者中心相距 1000 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。
d1 = 125 mmd2 = 500 mmC = 1000 mm
θ = °
3.轴的扭转中等
一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 500 N·md = 40 mmL = 2.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 1500 rpm 下传递 75 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 75 kWN = 1500 rpmdo = 80 mmdi = 40 mm
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 140 MPa，σᵧ = 20 MPa，τₓᵧ = 40 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 140 MPaσy = 20 MPaτxy = 40 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 90 MPa，σᵧ = −70 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（σz = 0）。 求冯·米塞斯等效应力 σvM。
σx = 90 MPaσy = −70 MPaτxy = 60 MPa
σvM = MPa
7.轴向应力与应变中等
求黄铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 95 kNd = 30 mmL = 1 mE = 100 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 110 kN第 1 段：Ø35 mm，2 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø12 mm，1.5 m，铜（E = 117 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)d = 20 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，两端铰接。它需承受 20 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 20 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
11.机械振动中等
一个 8 kg 的质量块挂在刚度为 100 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.35。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 8 kgk = 100 kN/mζ = 0.35
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 5 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 10 kN/m，下弹簧 k₂ = 100 kN/m。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 5 kgk1 = 10 kN/mk2 = 100 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: P = 8.686 kW
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带速度
v = 12.06 m/s
功率
P = (1200 − 480)·12.06 = 8686 W = 8.686 kW
答案
P = 8.686 kW
2.齿轮与齿轮系
答案: θ = 158.4 °
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带角
asin(0.1875) = 10.81°
包角
θ = 180 − 2·10.81 = 158.4°
答案
θ = 158.4°
3.轴的扭转
答案: φ = 7.307 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 500·1000·2500/(39000·251327) = 0.1275 rad
φ = 0.1275·180/π = 7.307°
答案
φ = 7.307°
4.轴的扭转
答案: τmax = 5.066 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 75000/157.1 = 477.5 N·m
极惯性矩
J = π(80⁴ − 40⁴)/32 = 3.77 × 10⁶ mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 477465·40/3.77 × 10⁶ = 5.066 MPa
答案
τmax = 5.066 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 16.85 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·40, 140 − 20) = 33.69°
单元体上的角度
θp = 16.85°
答案
θp = 16.85°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σvM = 173.5 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 10 MPa, R = 100 MPa
σ1 = 110 MPa, σ2 = −90 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(110² − 110·(−90) + (−90)²) = 173.5 MPa
答案
σvM = 173.5 MPa
7.轴向应力与应变
答案: ε = 1344 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 95·1000/706.9 = 134.4 MPa
应变（胡克定律）
E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 134.4/100000 = 0.001344 = 1344 µε
答案
ε = 1344 µε
8.轴向应力与应变
答案: δ = 13.61 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 114.3 MPa
σ2 = 972.6 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 114.3·2000/200000 = 1.143 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 972.6·1500/117000 = 12.47 mm
δ = δ1 + δ2 = 13.61 mm
答案
δ = 13.61 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 9.646 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·1500 = 750 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/750² = 9646 N = 9.646 kN
答案
Pcr = 9.646 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 55.1 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·20000 = 50000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 55.1 mm
答案
d = 55.1 mm
校核：长细比 KL/r 为 181.5，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: fd = 16.67 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(100000/8) = 111.8 rad/s
fn = 111.8/(2π) = 17.79 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 17.79·√(1 − 0.35²) = 16.67 Hz
答案
fd = 16.67 Hz
12.机械振动
答案: keq = 9.091 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/10 + 1/100 → keq = 10·100/(10 + 100) = 9.091 kN/m
答案
keq = 9.091 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design