齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 3 kW 的电动机以 2900 rpm 运转，驱动一个齿数为 25 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 36 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 95%。 求电动机轴上的扭矩 T1。
P = 3 kWn1 = 2900 rpmN1 = 25N2 = 36η = 95%
T1 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（32 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（40 齿）。齿轮 C（24 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（30 齿）。求输出转速 nout。
nin = 3000 rpmA = 32B = 40C = 24D = 30
nout = rpm
3.轴的扭转中等
在扭转试验中，一根直径 15 mm 的实心试件受 75 N·m 的扭矩作用。标距 200 mm 两端的相对转角为 4.43°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。
T = 75 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 4.43°
G = GPa
4.轴的扭转困难
一根直径 20 mm 的实心钢轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 2.5 m、距 B 1.2 m 的 C 处施加 200 N·m 的扭矩。 求截面 C 的转角 φC，以度表示。
d = 20 mmT0 = 200 N·ma = 2.5 mb = 1.2 mG = 80 GPa
φC = °
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −10 MPa，σᵧ = 100 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = −10 MPaσy = 100 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 90 MPa，σᵧ = −40 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 350 MPa。按特雷斯卡（最大切应力）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = 90 MPaσy = −40 MPaτxy = 30 MPaσY = 350 MPa
n =
7.轴向应力与应变中等
求黄铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 110 kNd = 25 mmL = 2.5 mE = 100 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 40 mm，长 500 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 30 mm，长 500 mm，E = 100 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 60 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 60 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1 mE = 200 GPa (钢)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 15 mm 之后 3 个周期出现峰值 8.5 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 15 mmx3 = 8.5 mmn = 3
ζ =
12.机械振动困难
一个 50 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 30 kN/m。质量块保持水平。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 50 kgk1 = 12 kN/mk2 = 30 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T1 = 9.879 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 3000/303.7 = 9.879 N·m
答案
T1 = 9.879 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 1920 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 3000·32/40 = 2400 rpm = nC
第二级
nout = 2400·24/30 = 1920 rpm
答案
nout = 1920 rpm
总传动比 = 1.563 : 1
3.轴的扭转
答案: G = 39.03 GPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩和角度
J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 4.43·π/180 = 0.07732 rad
剪切模量
T = 75 N·m = 75000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 75000·200/(4970·0.07732) = 39034 MPa
G = 39.03 GPa
答案
G = 39.03 GPa
作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。
4.轴的扭转
答案: φC = 7.394 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 200
TA·a = TB·b
TA = 200·1.2/3.7 = 64.86 N·m
TB = 200·2.5/3.7 = 135.1 N·m
C 的转角
用 AC 段：它在 A 端固定，承受 TA。
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 64865·2500/(80000·15708) = 0.129 rad = 7.394°
答案
φC = 7.394°
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 75.69 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·30, −10 − 100) = 151.4°
单元体上的角度
θp = 75.69°
答案
θp = 75.69°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: n = 2.445
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 25 MPa, R = 71.59 MPa
σ1 = 96.59 MPa, σ2 = −46.59 MPa, σ3 = 0
特雷斯卡
σmax − σmin = 143.2 MPa
n = 350/143.2 = 2.445
答案
n = 2.445
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
7.轴向应力与应变
答案: ε = 2241 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 110·1000/490.9 = 224.1 MPa
应变（胡克定律）
E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 224.1/100000 = 0.002241 = 2241 µε
答案
ε = 2241 µε
8.轴向应力与应变
答案: σ2 = 18.63 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm
k₂ = 100000·706.9/500 = 141372 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 60000·141372/644026 = 13171 N
应力
σ2 = 13171/706.9 = 18.63 MPa （压缩）
答案
σ2 = 18.63 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 107.4 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·1000 = 700 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/700² = 107424 N = 107.4 kN
答案
Pcr = 107.4 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 35.25 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
回转半径和长细比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
KL/r = 1050/7.5 = 140
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35.25 MPa
答案
σcr = 35.25 MPa
11.机械振动
答案: ζ = 0.03012
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/3)·ln(15/8.5) = 0.1893
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1893/√(39.48 + 0.03585) = 0.03012
答案
ζ = 0.03012
12.机械振动
答案: keq = 42 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 12 + 30 = 42 kN/m
答案
keq = 42 kN/m
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