齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
两根平行轴相距 180 mm。须用一对模数为 2.5 mm、减速比为 5 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。 大齿轮须有多少个齿 N2？
a = 180 mmm = 2.5 mmi = 5
N2 =
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（32 齿）以 1450 rpm 转动，驱动齿轮 B（36 齿）。齿轮 C（16 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（48 齿）。求输出转速 nout。
nin = 1450 rpmA = 32B = 36C = 16D = 48
nout = rpm
3.轴的扭转中等
一根阶梯形实心钢轴在 A 端固定。AB 段直径 75 mm，长 2.5 m；BC 段直径 60 mm，长 0.8 m。自由端 C 作用 500 N·m 的扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。
T = 500 N·md1 = 75 mm, L1 = 2.5 md2 = 60 mm, L2 = 0.8 m
τmax = MPa
4.轴的扭转困难
一根空心轴须在 1800 rpm 下传递 75 kW。 其内径为外径的 0.75 倍，切应力不得超过 50 MPa。求最小外径 do。
P = 75 kWN = 1800 rpmdi/do = 0.75τallow = 50 MPa
do = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = −60 MPa、σᵧ = −40 MPa、τₓᵧ = 50 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θs（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。
σx = −60 MPaσy = −40 MPaτxy = 50 MPa
θs = °
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −30 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = −10 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 40° 的截面上的正应力 σθ。
σx = −30 MPaσy = 30 MPaτxy = −10 MPaθ = 40°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
求钢杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 110 kNd = 30 mmL = 1.5 mE = 200 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 40 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 50 mm，长 500 mm，E = 70 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 40 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø50 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 50 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 10 kg 的质量块挂在刚度为 2 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.4。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 10 kgk = 2 kN/mζ = 0.4
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 20 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 5 kN/m，下弹簧 k₂ = 20 kN/m。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 20 kgk1 = 5 kN/mk2 = 20 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: N2 = 120
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
总齿数
N1 + N2 = 2a/m = 2·180/2.5 = 144
按传动比分配
N1 = 144/(1 + 5) = 24
N2 = 5·24 = 120
答案
N2 = 120
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 429.6 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 1450·32/36 = 1289 rpm = nC
第二级
nout = 1289·16/48 = 429.6 rpm
答案
nout = 429.6 rpm
总传动比 = 3.375 : 1
3.轴的扭转
答案: τmax = 11.79 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
各段的应力
T = 500 N·m = 500000 N·mm
τAB = 16·500000/(π·75³) = 6.036 MPa
τBC = 16·500000/(π·60³) = 11.79 MPa
答案
τmax = 11.79 MPa
4.轴的扭转
答案: do = 38.99 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 75000/188.5 = 397.9 N·m
由容许应力求外径
T = 397.9 N·m = 397887 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·397887/(π·50·0.6836)) = 38.99 mm
di = 0.75·38.99 = 29.24 mm
答案
do = 38.99 mm
实心轴需要 d = 34.35 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
5.莫尔圆与应力变换
答案: θs = 5.655 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。
cos 2θs = 50/50.99 = 0.9806, sin 2θs = −(−10)/50.99 = 0.1961
2θs = atan2(10, 50) = 11.31°
单元体上的角度
θs = 5.655°
校核: θs − θp = 5.655 − 50.65 = −45°
答案
θs = 5.655°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −15.06 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 0 + −30·0.1736 + −10·0.9848 = −15.06 MPa
答案
σθ = −15.06 MPa
7.轴向应力与应变
答案: ε = 778.1 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 110·1000/706.9 = 155.6 MPa
应变（胡克定律）
E for 钢 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 155.6/200000 = 0.0007781 = 778.1 µε
答案
ε = 778.1 µε
8.轴向应力与应变
答案: σ2 = 6.2 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm
k₂ = 70000·1963/500 = 274889 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 40000·274889/903208 = 12174 N
应力
σ2 = 12174/1963 = 6.2 MPa （压缩）
答案
σ2 = 6.2 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 85.94 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/3500² = 85939 N = 85.94 kN
答案
Pcr = 85.94 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 8.567 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 2·3000 = 6000 mm
KL/r = 6000/12.5 = 480
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8.567 MPa
答案
σcr = 8.567 MPa
11.机械振动
答案: fd = 2.063 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(2000/10) = 14.14 rad/s
fn = 14.14/(2π) = 2.251 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.251·√(1 − 0.4²) = 2.063 Hz
答案
fd = 2.063 Hz
12.机械振动
答案: keq = 4 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/5 + 1/20 → keq = 5·20/(5 + 20) = 4 kN/m
答案
keq = 4 kN/m
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