齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一条皮带绕在一个以 1500 rpm 转动、直径 125 mm 的主动轮上。紧边张力为 400 N，松边张力为 80 N。求传递的功率 P，单位 kW。
d1 = 125 mmn1 = 1500 rpmT1 = 400 NT2 = 80 N
P = kW
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带把一个以 1440 rpm 转动、直径 100 mm 的主动轮与一个 300 mm 的带轮相连；中心距为 1000 mm。摩擦系数为 0.35，紧边张力不得超过 2000 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。
d1 = 100 mmn1 = 1440 rpmd2 = 300 mmC = 1000 mmμ = 0.35T1 = 2000 N
P = kW
3.轴的扭转中等
一根空心轴须承受 500 N·m 的扭矩。 其内径为外径的 0.5 倍，切应力不得超过 80 MPa。求最小外径 do。
T = 500 N·mdi/do = 0.5τallow = 80 MPa
do = mm
4.轴的扭转困难
一根直径 40 mm 的实心黄铜轴在 A 端固定。距 A 2.5 m 的 B 处作用 1500 N·m 的扭矩，再往前 0.8 m 的自由端 C 处作用一个同向的 1000 N·m 扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。
d = 40 mmTB = 1500 N·mTC = 1000 N·mAB = 2.5 mBC = 0.8 m
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 150 MPa，σᵧ = 20 MPa，τₓᵧ = 40 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。
σx = 150 MPaσy = 20 MPaτxy = 40 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −40 MPa，σᵧ = 110 MPa，τₓᵧ = 40 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 45° 的截面上的切应力 τθ（正方向与 τₓᵧ 相同）。
σx = −40 MPaσy = 110 MPaτxy = 40 MPaθ = -45°
τθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 25 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段铜（直径 60 mm，长 300 mm，E = 120 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.4 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铜, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 45 kN第 1 段：Ø25 mm，0.5 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø20 mm，1 m，铜（E = 117 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 45 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 45 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 15 mm 之后 3 个周期出现峰值 0.9 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 15 mmx3 = 0.9 mmn = 3
ζ =
12.机械振动困难
一个 20 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 50 kN/m 和 k₂ = 80 kN/m。质量块保持水平。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 20 kgk1 = 50 kN/mk2 = 80 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: P = 3.142 kW
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带速度
v = 9.817 m/s
功率
P = (400 − 80)·9.817 = 3142 W = 3.142 kW
答案
P = 3.142 kW
2.齿轮与齿轮系
答案: P = 9.693 kW
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
包角
θ = 2.941 rad
松边张力
eμθ = e1.029 = 2.799, T₂ = 2000/2.799 = 714.4 N
功率
P = (2000 − 714.4)·7.54 = 9.693 kW
答案
P = 9.693 kW
3.轴的扭转
答案: do = 32.38 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
由容许应力求外径
T = 500 N·m = 500000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·80·0.9375)) = 32.38 mm
di = 0.5·32.38 = 16.19 mm
答案
do = 32.38 mm
实心轴需要 d = 31.69 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
4.轴的扭转
答案: τmax = 198.9 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
内扭矩
取 TC 的转向为正。
TBC = TC = 1000 N·m
TAB = TC + TB = 1000 + 1500 = 2500 N·m
最大切应力
内扭矩最大的一段应力最大（直径相同）。
|T|max = 2500 N·m
τmax = 16·2.5 × 10⁶/(π·40³) = 198.9 MPa
答案
τmax = 198.9 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: τabs = 80.66 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。
面内主应力
C = 85 MPa, R = √(65² + 40²) = 76.32 MPa
σ1 = 161.3 MPa, σ2 = 8.678 MPa, σz = 0
三个圆中最大的
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(152.6, 161.3, 8.678)/2 = 80.66 MPa
答案
τabs = 80.66 MPa
这里由面外的圆控制：绝对最大值大于面内最大值 R。
6.莫尔圆与应力变换
答案: τθ = −75 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
τθ = −−75·−1 + 40·0 = −75 MPa
答案
τθ = −75 MPa
7.轴向应力与应变
答案: P = 101.5 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 2827 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490.9) = 3.056 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·2827) = 8.842 × 10⁻⁷ mm/N
载荷
P = 0.4/3.94 × 10⁻⁶ = 101524 N = 101.5 kN
答案
P = 101.5 kN
8.轴向应力与应变
答案: δ = 1.683 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 91.67 MPa
σ2 = 143.2 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 91.67·500/100000 = 0.4584 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 143.2·1000/117000 = 1.224 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.683 mm
答案
δ = 1.683 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 13.82 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/3000² = 13817 N = 13.82 kN
答案
Pcr = 13.82 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 84.16 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·45000 = 135000 N
KL = 2·3000 = 6000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 84.16 mm
答案
d = 84.16 mm
校核：长细比 KL/r 为 285.2，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.1476
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/3)·ln(15/0.9) = 0.9378
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.9378/√(39.48 + 0.8795) = 0.1476
答案
ζ = 0.1476
12.机械振动
答案: keq = 130 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 50 + 80 = 130 kN/m
答案
keq = 130 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design