齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
两根平行轴相距 150 mm。须用一对模数为 2 mm、减速比为 5 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。 小齿轮须有多少个齿 N1？
a = 150 mmm = 2 mmi = 5
N1 =
2.齿轮与齿轮系困难
一台 4 kW、1450 rpm 的电动机驱动齿轮 A（20 齿），A 与齿轮 B（25 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（20 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（32 齿）。每对齿轮啮合的效率为 96%。求输出转矩 Tout。
P = 4 kWnin = 1450 rpmA = 20B = 25C = 20D = 32ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.轴的扭转中等
一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 1000 N·md = 50 mmL = 1.2 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 40 mm 的实心黄铜轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 0.8 m、距 B 3 m 的 C 处施加 200 N·m 的扭矩。 求墙 A 处的反扭矩 TA。
d = 40 mmT0 = 200 N·ma = 0.8 mb = 3 m
TA = N·m
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 20 MPa，σᵧ = 70 MPa，τₓᵧ = 10 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = 20 MPaσy = 70 MPaτxy = 10 MPa
τmax = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −10 MPa，σᵧ = −30 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 45° 的截面上的正应力 σθ。
σx = −10 MPaσy = −30 MPaτxy = 60 MPaθ = 45°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 25 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 40 mm，长 500 mm，E = 110 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.2 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 45 kN第 1 段：Ø30 mm，0.5 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø12 mm，0.5 m，钢（E = 200 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 50 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 20 kg 的质量块挂在刚度为 4 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.5。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 20 kgk = 4 kN/mζ = 0.5
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 50 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 5 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 30 kN/m 和 k₂ = 12 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 50 kgk1 = 30 kN/mk2 = 12 kN/mk3 = 5 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: N1 = 25
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
总齿数
N1 + N2 = 2a/m = 2·150/2 = 150
按传动比分配
N1 = 150/(1 + 5) = 25
答案
N1 = 25
2.齿轮与齿轮系
答案: Tout = 48.56 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
输出转速
nout = 1450·(20/25)·(20/32) = 725 rpm
ωout = 2π·725/60 = 75.92 rad/s
输出功率和转矩
Pout = 4000·0.96² = 3686 W
Tout = Pout/ωout = 3686/75.92 = 48.56 N·m
答案
Tout = 48.56 N·m
3.轴的扭转
答案: φ = 2.873 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1200/(39000·613592) = 0.05015 rad
φ = 0.05015·180/π = 2.873°
答案
φ = 2.873°
4.轴的扭转
答案: TA = 157.9 N·m
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 200
TA·a = TB·b
TA = 200·3/3.8 = 157.9 N·m
TB = 200·0.8/3.8 = 42.11 N·m
答案
TA = 157.9 N·m
5.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 26.93 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((20 − 70)/2)² + 10²) = 26.93 MPa
答案
τmax = 26.93 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 40 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = −20 + 10·0 + 60·1 = 40 MPa
答案
σθ = 40 MPa
7.轴向应力与应变
答案: P = 26 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1257 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490.9) = 4.074 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·1257) = 3.617 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.2/7.692 × 10⁻⁶ = 26003 N = 26 kN
答案
P = 26 kN
8.轴向应力与应变
答案: σmax = 397.9 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 63.66 MPa
σ2 = 397.9 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 397.9 MPa
答案
σmax = 397.9 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 6.056 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
计算长度
KL = 1·2500 = 2500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2500² = 6056 N = 6.056 kN
答案
Pcr = 6.056 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 19.28 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 1·4000 = 4000 mm
KL/r = 4000/12.5 = 320
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19.28 MPa
答案
σcr = 19.28 MPa
11.机械振动
答案: fd = 1.949 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(4000/20) = 14.14 rad/s
fn = 14.14/(2π) = 2.251 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.251·√(1 − 0.5²) = 1.949 Hz
答案
fd = 1.949 Hz
12.机械振动
答案: fn = 1.505 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 30 + 12 = 42 kN/m
keq = 42·5/(42 + 5) = 4.468 kN/m
固有频率
ωn = √(4468/50) = 9.453 rad/s
fn = 9.453/(2π) = 1.505 Hz
答案
fn = 1.505 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design