齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 2.2 kW 的电动机以 1450 rpm 运转，驱动一个齿数为 15 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 72 的大齿轮啮合。 忽略损失。 求齿轮轴上的输出扭矩 T2。
P = 2.2 kWn1 = 1450 rpmN1 = 15N2 = 72η = 100%
T2 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
一台 4 kW、2900 rpm 的电动机驱动齿轮 A（15 齿），A 与齿轮 B（45 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（48 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（60 齿）。每对齿轮啮合的效率为 96%。求输出转矩 Tout。
P = 4 kWnin = 2900 rpmA = 15B = 45C = 48D = 60ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.轴的扭转中等
一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 200 N·md = 30 mmL = 1.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 1000 rpm 下传递 20 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 20 kWN = 1000 rpmdo = 60 mmdi = 45 mm
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = −30 MPa、σᵧ = 30 MPa、τₓᵧ = −50 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θs（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。
σx = −30 MPaσy = 30 MPaτxy = −50 MPa
θs = °
6.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −50 MPa，σᵧ = −20 MPa，τₓᵧ = −60 MPa（σz = 0）。 求冯·米塞斯等效应力 σvM。
σx = −50 MPaσy = −20 MPaτxy = −60 MPa
σvM = MPa
7.轴向应力与应变中等
求铝杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 10 kNd = 25 mmL = 2 mE = 70 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 30 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 30 mm，长 500 mm，E = 100 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 30 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 200 GPa (钢)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，两端固定。它需承受 30 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 30 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
11.机械振动中等
一个 2 kg 的质量块挂在刚度为 10 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.6。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 2 kgk = 10 kN/mζ = 0.6
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 25 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 50 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 60 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 25 kgk1 = 12 kN/mk2 = 60 kN/mk3 = 50 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T2 = 69.55 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/151.8 = 14.49 N·m
输出扭矩
T2 = 14.49·72/15·1 = 69.55 N·m
答案
T2 = 69.55 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: Tout = 45.52 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
输出转速
nout = 2900·(15/45)·(48/60) = 773.3 rpm
ωout = 2π·773.3/60 = 80.98 rad/s
输出功率和转矩
Pout = 4000·0.96² = 3686 W
Tout = Pout/ωout = 3686/80.98 = 45.52 N·m
答案
Tout = 45.52 N·m
3.轴的扭转
答案: φ = 2.702 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(80000·79522) = 0.04716 rad
φ = 0.04716·180/π = 2.702°
答案
φ = 2.702°
4.轴的扭转
答案: τmax = 6.587 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 20000/104.7 = 191 N·m
极惯性矩
J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 190986·30/869767 = 6.587 MPa
答案
τmax = 6.587 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: θs = 74.52 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。
cos 2θs = −50/58.31 = −0.8575, sin 2θs = −(−30)/58.31 = 0.5145
2θs = atan2(30, −50) = 149°
单元体上的角度
θs = 74.52°
校核: θs − θp = 74.52 − (−60.48) = 135°
答案
θs = 74.52°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σvM = 112.7 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = −35 MPa, R = 61.85 MPa
σ1 = 26.85 MPa, σ2 = −96.85 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(26.85² − 26.85·(−96.85) + (−96.85)²) = 112.7 MPa
答案
σvM = 112.7 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 0.5821 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 10·1000/490.9 = 20.37 MPa
应变（胡克定律）
E for 铝 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 20.37/70000 = 0.000291 = 291 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.000291·2000 mm = 0.5821 mm
答案
δ = 0.5821 mm
8.轴向应力与应变
答案: σ2 = 9.794 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·706.9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 100000·706.9/500 = 141372 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 30000·141372/612611 = 6923 N
应力
σ2 = 6923/706.9 = 9.794 MPa （压缩）
答案
σ2 = 9.794 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 14.62 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴
计算长度
KL = 1·3000 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/3000² = 14622 N = 14.62 kN
答案
Pcr = 14.62 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 43.12 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·30000 = 75000 N
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·1250²/(π³·70000))^(1/4) = 43.12 mm
答案
d = 43.12 mm
校核：长细比 KL/r 为 116，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: fd = 9.003 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(10000/2) = 70.71 rad/s
fn = 70.71/(2π) = 11.25 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 11.25·√(1 − 0.6²) = 9.003 Hz
答案
fd = 9.003 Hz
12.机械振动
答案: fn = 5.468 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 12 + 60 = 72 kN/m
keq = 72·50/(72 + 50) = 29.51 kN/m
固有频率
ωn = √(29508/25) = 34.36 rad/s
fn = 34.36/(2π) = 5.468 Hz
答案
fn = 5.468 Hz
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