齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
两根平行轴相距 78.75 mm。须用一对模数为 1.5 mm、减速比为 2.5 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。 小齿轮须有多少个齿 N1？
a = 78.75 mmm = 1.5 mmi = 2.5
N1 =
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带连接一个 100 mm 的带轮和一个 315 mm 的带轮，二者中心相距 1200 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。
d1 = 100 mmd2 = 315 mmC = 1200 mm
θ = °
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 400 N·md = 30 mmL = 1.2 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心钢轴在 1500 rpm 下传递 10 kW。切应力不得超过 40 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 0.25°。求同时满足两个限值的最小直径 d。
P = 10 kWN = 1500 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0.25°/mG = 80 GPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 30 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = −40 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 30 MPaσy = 30 MPaτxy = −40 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
一个薄壁圆柱形储罐，内径 400 mm，壁厚 10 mm，所盛气体的表压为 1.5 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 30° 的螺旋焊缝焊接而成。 求作用在焊缝上（垂直于焊缝）的正应力 σn。
D = 400 mmt = 10 mmp = 1.5 MPaα = 30°
σn = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 20 mm，长 500 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 40 mm，长 200 mm，E = 110 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.5 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
8.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa，许用应力 120 MPa）放在一根铝管（外径 80 mm，内径 50 mm，E = 70 GPa，许用应力 50 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 135 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 135 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
一个 250 kg 的质量块由刚度为 25 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 2000 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 250 kgk = 25 kN/mc = 2000 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 5 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 100 kN/m 和 k₂ = 25 kN/m。质量块保持水平。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 5 kgk1 = 100 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: N1 = 30
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
总齿数
N1 + N2 = 2a/m = 2·78.75/1.5 = 105
按传动比分配
N1 = 105/(1 + 2.5) = 30
答案
N1 = 30
2.齿轮与齿轮系
答案: θ = 169.7 °
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带角
asin(0.08958) = 5.14°
包角
θ = 180 − 2·5.14 = 169.7°
答案
θ = 169.7°
3.轴的扭转
答案: φ = 13.3 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(26000·79522) = 0.2322 rad
φ = 0.2322·180/π = 13.3°
答案
φ = 13.3°
4.轴的扭转
答案: d = 36.92 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 10000/157.1 = 63.66 N·m
按强度求直径
T = 63.66 N·m = 63662 N·mm
dτ = ∛(16·63662/(π·40)) = 20.09 mm
按刚度求直径
θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·63662/(π·80000·4.363 × 10⁻⁶))1/4 = 36.92 mm
控制直径
两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。
d = max(20.09, 36.92) = 36.92 mm
答案
d = 36.92 mm
这里由刚度控制。
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = −45 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·−40, 30 − 30) = −90°
单元体上的角度
θp = −45°
答案
θp = −45°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σn = 26.25 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。
筒壁应力
r = 400/2 = 200 mm
σh = pr/t = 1.5·200/10 = 30 MPa
σa = pr/(2t) = 15 MPa
变换到焊缝
取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。
σn = 15·sin²30° + 30·cos²30° = 26.25 MPa
答案
σn = 26.25 MPa
7.轴向应力与应变
答案: P = 53.17 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 314.2 mm², A₂ = 1257 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314.2) = 7.958 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1257) = 1.447 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.5/9.405 × 10⁻⁶ = 53165 N = 53.17 kN
答案
P = 53.17 kN
8.轴向应力与应变
答案: Pmax = 213.5 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·706.9 + 70·10³·3063 = 3.558 × 10⁸ N
控制应变
ε = min(0.0006, 0.0007143) = 0.0006 (钢)
最大载荷
Pmax = 0.0006·3.558 × 10⁸ = 213471 N = 213.5 kN
答案
Pmax = 213.5 kN
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 17.58 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
计算长度
KL = 2·2500 = 5000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/5000² = 17581 N = 17.58 kN
答案
Pcr = 17.58 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 50.04 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·135000 = 270000 N
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 50.04 mm
答案
d = 50.04 mm
校核：长细比 KL/r 为 119.9，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.4
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(25000·250) = 5000 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 2000/5000 = 0.4
答案
ζ = 0.4
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: fn = 25.16 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 100 + 25 = 125 kN/m
固有频率
ωn = √(125000/5) = 158.1 rad/s
fn = 158.1/(2π) = 25.16 Hz
答案
fn = 25.16 Hz
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