齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 4 kW 的电动机以 1440 rpm 运转，驱动一个齿数为 15 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 36 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 98%。 求齿轮轴上的输出扭矩 T2。
P = 4 kWn1 = 1440 rpmN1 = 15N2 = 36η = 98%
T2 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（30 齿）以 960 rpm 转动，驱动齿轮 B（32 齿）。齿轮 C（32 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 640 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 ND？
nin = 960 rpmA = 30B = 32C = 32nout = 640 rpm
ND =
3.轴的扭转中等
一根空心铝轴（外径 75 mm，内径 45 mm，长 3 m）一端固定，另一端受 2000 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。
T = 2000 N·mdo = 75 mmdi = 45 mmL = 3 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 60 mm 的实心铝轴在 A 端固定。距 A 3 m 的 B 处作用 100 N·m 的扭矩，再往前 1 m 的自由端 C 处作用一个同向的 100 N·m 扭矩。 求端部 C 扭转角 φC 的大小，以度表示。
d = 60 mmTB = 100 N·mTC = 100 N·mAB = 3 mBC = 1 mG = 26 GPa
φC = °
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = −10 MPa、σᵧ = 80 MPa。在最大主应力达到 135 MPa 之前，切应力 τxy（大小）最大可以是多少？
σx = −10 MPaσy = 80 MPaσ1 = 135 MPa
τxy = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
一根直径 40 mm 的实心轴承受90 kN 的轴向压力，同时承受 200 N·m 的扭矩。 在轴的表面处， 求面内最大切应力 τmax。
d = 40 mmF = −90 kNT = 200 N·m
τmax = MPa
7.轴向应力与应变中等
求钢杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 55 kNd = 10 mmL = 0.5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 110 kN第 1 段：Ø40 mm，1.5 m，铝（E = 70 GPa）第 2 段：Ø12 mm，1 m，铝（E = 70 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 70 GPa (铝)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 12 kg 的质量块由刚度为 20 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 490 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 12 kgk = 20 kN/mc = 490 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 10 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 10 kN/m 和 k₂ = 100 kN/m。质量块保持水平。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 10 kgk1 = 10 kN/mk2 = 100 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T2 = 62.39 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 4000/150.8 = 26.53 N·m
输出扭矩
T2 = 26.53·36/15·0.98 = 62.39 N·m
答案
T2 = 62.39 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: ND = 45
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
中间轴转速
nB = nC = 960·30/32 = 900 rpm
齿轮 D 的齿数
ND = C·nC/nout = 32·900/640 = 45
答案
ND = 45
3.轴的扭转
答案: φ = 4.89 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2.704 × 10⁶ mm⁴
扭转角
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·3000/(26000·2.704 × 10⁶) = 0.08535 rad
φ = 0.08535·180/π = 4.89°
答案
φ = 4.89°
4.轴的扭转
答案: φC = 1.212 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
内扭矩
取 TC 的转向为正。
TBC = TC = 100 N·m
TAB = TC + TB = 100 + 100 = 200 N·m
各段的扭转角
J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 200000·3000/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.01814 rad
φBC = 100000·1000/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.003023 rad
端部 C 的扭转角
φC = 0.01814 + 0.003023 = 0.02116 rad → |φC| = 1.212°
答案
φC = 1.212°
5.莫尔圆与应力变换
答案: τxy = 89.3 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
所需半径
C = (−10 + 80)/2 = 35 MPa
R = σ1 − C = 135 − 35 = 100 MPa
切应力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(100² − 45²) = 89.3 MPa
答案
τxy = 89.3 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 39.19 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
表面处的应力
σ = F/A = −90000/(π·40²/4) = −90000/1257 = −71.62 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·40³) = 15.92 MPa
莫尔圆
C = σ/2 = −35.81 MPa
R = √((−35.81)² + 15.92²) = 39.19 MPa
答案
τmax = 39.19 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 1.751 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 55·1000/78.54 = 700.3 MPa
应变（胡克定律）
E for 钢 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 700.3/200000 = 0.003501 = 3501 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.003501·500 mm = 1.751 mm
答案
δ = 1.751 mm
8.轴向应力与应变
答案: δ = 15.77 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 87.54 MPa
σ2 = 972.6 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 87.54·1500/70000 = 1.876 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 972.6·1000/70000 = 13.89 mm
δ = δ1 + δ2 = 15.77 mm
答案
δ = 15.77 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 23.03 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴
计算长度
KL = 1·4000 = 4000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/4000² = 23029 N = 23.03 kN
答案
Pcr = 23.03 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 77.11 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
回转半径和长细比
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 1·1000 = 1000 mm
KL/r = 1000/6.25 = 160
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77.11 MPa
答案
σcr = 77.11 MPa
11.机械振动
答案: ζ = 0.5001
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(20000·12) = 979.8 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 490/979.8 = 0.5001
答案
ζ = 0.5001
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: keq = 110 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 10 + 100 = 110 kN/m
答案
keq = 110 kN/m
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