齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 3 kW 的电动机以 1500 rpm 运转，驱动一个齿数为 25 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 72 的大齿轮啮合。 忽略损失。 求齿轮轴上的输出扭矩 T2。
P = 3 kWn1 = 1500 rpmN1 = 25N2 = 72η = 100%
T2 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
在一个行星齿轮系中，太阳轮有 15 个齿，每个行星轮有 24 个齿。齿圈固定，太阳轮以 900 rpm 驱动。求行星架的转速 nc。
Ns = 15Np = 24ns = 900 rpm
nc = rpm
3.轴的扭转中等
一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 250 N·md = 40 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 1500 rpm 下传递 50 kW，且切应力不超过 75 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 50 kWN = 1500 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 50 MPa，σᵧ = 120 MPa，τₓᵧ = 20 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = 50 MPaσy = 120 MPaτxy = 20 MPa
τmax = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
一个薄壁圆柱形储罐，内径 1500 mm，壁厚 12 mm，所盛气体的表压为 0.8 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 40° 的螺旋焊缝焊接而成。 求作用在焊缝上（垂直于焊缝）的正应力 σn。
D = 1500 mmt = 12 mmp = 0.8 MPaα = 40°
σn = MPa
7.轴向应力与应变中等
求黄铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 10 kNd = 30 mmL = 1 mE = 100 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 65 kN第 1 段：Ø30 mm，2 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø12 mm，0.5 m，铜（E = 117 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 70 GPa (铝)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1 mE = 70 GPa (铝)d = 25 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 12 kg 的质量块由刚度为 25 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 550 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 12 kgk = 25 kN/mc = 550 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 40 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 5 kN/m 和 k₂ = 20 kN/m。质量块保持水平。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 40 kgk1 = 5 kN/mk2 = 20 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T2 = 55 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 3000/157.1 = 19.1 N·m
输出扭矩
T2 = 19.1·72/25·1 = 55 N·m
答案
T2 = 55 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: nc = 173.1 rpm
行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。
齿圈齿数
Nr = Ns + 2·Np = 15 + 2·24 = 63
齿圈固定时的威利斯方程
令 nr = 0，求行星架的转速。
(900 − nc)/(0 − nc) = −63/15
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 900·15/78 = 173.1 rpm
答案
nc = 173.1 rpm
行星架与太阳轮转向相同。
3.轴的扭转
答案: φ = 0.5699 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(80000·251327) = 0.009947 rad
φ = 0.009947·180/π = 0.5699°
答案
φ = 0.5699°
4.轴的扭转
答案: d = 27.86 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 50000/157.1 = 318.3 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·318310/(π·75)) = 27.86 mm
答案
d = 27.86 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 40.31 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((50 − 120)/2)² + 20²) = 40.31 MPa
答案
τmax = 40.31 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: σn = 39.67 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。
筒壁应力
r = 1500/2 = 750 mm
σh = pr/t = 0.8·750/12 = 50 MPa
σa = pr/(2t) = 25 MPa
变换到焊缝
取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。
σn = 25·sin²40° + 50·cos²40° = 39.67 MPa
答案
σn = 39.67 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 0.1415 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 10·1000/706.9 = 14.15 MPa
应变（胡克定律）
E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 14.15/100000 = 0.0001415 = 141.5 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.0001415·1000 mm = 0.1415 mm
答案
δ = 0.1415 mm
8.轴向应力与应变
答案: σmax = 574.7 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 91.96 MPa
σ2 = 574.7 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 574.7 MPa
答案
σmax = 574.7 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 20.47 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/1500² = 20470 N = 20.47 kN
答案
Pcr = 20.47 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 26.99 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
回转半径和长细比
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 1·1000 = 1000 mm
KL/r = 1000/6.25 = 160
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26.99 MPa
答案
σcr = 26.99 MPa
11.机械振动
答案: ζ = 0.5021
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(25000·12) = 1095 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 550/1095 = 0.5021
答案
ζ = 0.5021
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: fn = 3.979 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 5 + 20 = 25 kN/m
固有频率
ωn = √(25000/40) = 25 rad/s
fn = 25/(2π) = 3.979 Hz
答案
fn = 3.979 Hz
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