齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 7.5 kW 的电动机以 1500 rpm 运转，驱动一个齿数为 30 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 80 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 95%。 求齿轮轴上的输出扭矩 T2。
P = 7.5 kWn1 = 1500 rpmN1 = 30N2 = 80η = 95%
T2 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（30 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（50 齿）。齿轮 C（20 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（30 齿）。求输出转速 nout。
nin = 3000 rpmA = 30B = 50C = 20D = 30
nout = rpm
3.轴的扭转中等
一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 400 N·md = 40 mmL = 1.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 300 rpm 下传递 50 kW，且切应力不超过 80 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 50 kWN = 300 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 90 MPa，σᵧ = 80 MPa，τₓᵧ = −60 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 90 MPaσy = 80 MPaτxy = −60 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −50 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 20° 的截面上的切应力 τθ（正方向与 τₓᵧ 相同）。
σx = −50 MPaσy = 30 MPaτxy = 60 MPaθ = -20°
τθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
求铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 115 kNd = 20 mmL = 2 mE = 117 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 20 kN第 1 段：Ø35 mm，0.5 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø12 mm，1.5 m，钢（E = 200 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 70 GPa (铝)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 10 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 10 kNn = 2.5L = 6 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
一个 20 kg 的质量块由刚度为 40 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 720 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 20 kgk = 40 kN/mc = 720 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 10 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 20 kN/m 和 k₂ = 80 kN/m。质量块保持水平。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 10 kgk1 = 20 kN/mk2 = 80 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T2 = 121 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/157.1 = 47.75 N·m
输出扭矩
T2 = 47.75·80/30·0.95 = 121 N·m
答案
T2 = 121 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 1200 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 3000·30/50 = 1800 rpm = nC
第二级
nout = 1800·20/30 = 1200 rpm
答案
nout = 1200 rpm
总传动比 = 2.5 : 1
3.轴的扭转
答案: φ = 3.507 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 400·1000·1500/(39000·251327) = 0.06121 rad
φ = 0.06121·180/π = 3.507°
答案
φ = 3.507°
4.轴的扭转
答案: d = 46.62 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·1.592 × 10⁶/(π·80)) = 46.62 mm
答案
d = 46.62 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = −42.62 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·−60, 90 − 80) = −85.24°
单元体上的角度
θp = −42.62°
答案
θp = −42.62°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: τθ = 20.25 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
τθ = −−40·−0.6428 + 60·0.766 = 20.25 MPa
答案
τθ = 20.25 MPa
7.轴向应力与应变
答案: ε = 3129 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 115·1000/314.2 = 366.1 MPa
应变（胡克定律）
E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 366.1/117000 = 0.003129 = 3129 µε
答案
ε = 3129 µε
8.轴向应力与应变
答案: δ = 1.415 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 20.79 MPa
σ2 = 176.8 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 20.79·500/117000 = 0.08884 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 176.8·1500/200000 = 1.326 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.415 mm
答案
δ = 1.415 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 26.99 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴
计算长度
KL = 1·4000 = 4000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/4000² = 26987 N = 26.99 kN
答案
Pcr = 26.99 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 78.07 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·10000 = 25000 N
KL = 2·6000 = 12000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·25000·12000²/(π³·200000))^(1/4) = 78.07 mm
答案
d = 78.07 mm
校核：长细比 KL/r 为 614.8，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.4025
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(40000·20) = 1789 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 720/1789 = 0.4025
答案
ζ = 0.4025
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: fn = 15.92 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 20 + 80 = 100 kN/m
固有频率
ωn = √(100000/10) = 100 rad/s
fn = 100/(2π) = 15.92 Hz
答案
fn = 15.92 Hz
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