齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
两根平行轴相距 375 mm。须用一对模数为 5 mm、减速比为 5 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。 小齿轮须有多少个齿 N1？
a = 375 mmm = 5 mmi = 5
N1 =
2.齿轮与齿轮系困难
在一个行星齿轮系中，太阳轮有 20 个齿，每个行星轮有 20 个齿。行星架固定，太阳轮以 1200 rpm 驱动。求齿圈的转速 nr（大小）。
Ns = 20Np = 20ns = 1200 rpm
nr = rpm
3.轴的扭转中等
一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 200 N·md = 30 mmL = 3 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 30 mm 的实心钢轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 1.2 m、距 B 0.8 m 的 C 处施加 1500 N·m 的扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。
d = 30 mmT0 = 1500 N·ma = 1.2 mb = 0.8 m
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 160 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θs（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。
σx = 160 MPaσy = 60 MPaτxy = 30 MPa
θs = °
6.莫尔圆与应力变换困难
一根直径 40 mm 的实心轴承受300 N·m 的弯矩，同时承受 250 N·m 的扭矩。 在弯曲应力为拉应力且最大的上表面处， 求最大主应力 σ1。
d = 40 mmM = 300 N·mT = 250 N·m
σ1 = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 25 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段铜（直径 30 mm，长 500 mm，E = 120 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.4 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铜, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 20 kN第 1 段：Ø30 mm，2 m，铝（E = 70 GPa）第 2 段：Ø16 mm，0.5 m，铜（E = 117 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 110 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 110 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
一个 20 kg 的质量块由刚度为 50 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 1000 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 20 kgk = 50 kN/mc = 1000 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 10 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 10 kN/m 和 k₂ = 5 kN/m。质量块保持水平。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 10 kgk1 = 10 kN/mk2 = 5 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: N1 = 25
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
总齿数
N1 + N2 = 2a/m = 2·375/5 = 150
按传动比分配
N1 = 150/(1 + 5) = 25
答案
N1 = 25
2.齿轮与齿轮系
答案: nr = 400 rpm
行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。
齿圈齿数
Nr = Ns + 2·Np = 20 + 2·20 = 60
行星架固定时的威利斯方程
nc = 0 时，太阳轮通过起惰轮作用的行星轮驱动齿圈。
nr = −ns·Ns/Nr = −1200·20/60 = −400 rpm
|nr| = 400 rpm
答案
nr = 400 rpm
齿圈与太阳轮转向相反。
3.轴的扭转
答案: φ = 11.08 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(39000·79522) = 0.1935 rad
φ = 0.1935·180/π = 11.08°
答案
φ = 11.08°
4.轴的扭转
答案: τmax = 169.8 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 1500
TA·a = TB·b
TA = 1500·0.8/2 = 600 N·m
TB = 1500·1.2/2 = 900 N·m
最大切应力
两个扭矩中较大者起控制作用（直径相同）。
τmax = 16·900000/(π·30³) = 169.8 MPa
答案
τmax = 169.8 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: θs = −29.52 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。
cos 2θs = 30/58.31 = 0.5145, sin 2θs = −50/58.31 = −0.8575
2θs = atan2(−50, 30) = −59.04°
单元体上的角度
θs = −29.52°
校核: θs − θp = −29.52 − 15.48 = −45°
答案
θs = −29.52°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σ1 = 54.95 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
表面处的应力
σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·40³) = 47.75 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·40³) = 19.89 MPa
莫尔圆
C = σ/2 = 23.87 MPa
R = √(23.87² + 19.89²) = 31.08 MPa
σ1 = C + R = 54.95 MPa
σ2 = C − R = −7.203 MPa
答案
σ1 = 54.95 MPa
7.轴向应力与应变
答案: P = 40.12 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490.9) = 4.074 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·706.9) = 5.895 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.4/9.969 × 10⁻⁶ = 40124 N = 40.12 kN
答案
P = 40.12 kN
8.轴向应力与应变
答案: σmax = 99.47 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 28.29 MPa
σ2 = 99.47 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 99.47 MPa
答案
σmax = 99.47 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 110.2 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
计算长度
KL = 1·1500 = 1500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1500² = 110245 N = 110.2 kN
答案
Pcr = 110.2 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 77.64 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·110000 = 220000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·220000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 77.64 mm
答案
d = 77.64 mm
校核：长细比 KL/r 为 206.1，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.5
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(50000·20) = 2000 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 1000/2000 = 0.5
答案
ζ = 0.5
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: keq = 15 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 10 + 5 = 15 kN/m
答案
keq = 15 kN/m
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