齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一个 2 头的蜗杆以 960 rpm 转动，驱动一个 45 齿的蜗轮。求蜗轮的转速 nw。
z = 2Nw = 45n = 960 rpm
nw = rpm
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（20 齿）以 960 rpm 转动，驱动齿轮 B（60 齿）。齿轮 C（48 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（80 齿）。求输出转速 nout。
nin = 960 rpmA = 20B = 60C = 48D = 80
nout = rpm
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 250 N·md = 40 mmL = 1.2 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 3000 rpm 下传递 5 kW，且切应力不超过 60 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 5 kWN = 3000 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 50 MPa、σᵧ = 50 MPa、τₓᵧ = −20 MPa（拉为正）。单元体按逆时针 35°旋转。求旋转后单元体上垂直于旋转后 y′ 轴的面上的正应力 σy′。
σx = 50 MPaσy = 50 MPaτxy = −20 MPaθ = 35°
σy′ = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
一根直径 40 mm 的实心轴承受1500 N·m 的弯矩，同时承受 1000 N·m 的扭矩。 在弯曲应力为拉应力且最大的上表面处， 求最大主应力 σ1。
d = 40 mmM = 1500 N·mT = 1000 N·m
σ1 = MPa
7.轴向应力与应变中等
求钢杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 95 kNd = 25 mmL = 0.5 mE = 200 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 55 kN第 1 段：Ø35 mm，1 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø12 mm，1 m，铝（E = 70 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 100 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 100 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
一个 250 kg 的质量块由刚度为 25 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 3000 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 250 kgk = 25 kN/mc = 3000 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 50 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 20 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 5 kN/m 和 k₂ = 25 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 50 kgk1 = 5 kN/mk2 = 25 kN/mk3 = 20 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: nw = 42.67 rpm
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
蜗轮转速
nw = n·z/Nw = 960·2/45 = 42.67 rpm
答案
nw = 42.67 rpm
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 192 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 960·20/60 = 320 rpm = nC
第二级
nout = 320·48/80 = 192 rpm
答案
nout = 192 rpm
总传动比 = 5 : 1
3.轴的扭转
答案: φ = 2.63 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(26000·251327) = 0.04591 rad
φ = 0.04591·180/π = 2.63°
答案
φ = 2.63°
4.轴的扭转
答案: d = 11.05 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 5000/314.2 = 15.92 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·15915/(π·60)) = 11.05 mm
答案
d = 11.05 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.莫尔圆与应力变换
答案: σy′ = 68.79 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
y′ 面的变换公式
σy′ = 50 − 0·0.342 − (−20)·0.9397 = 68.79 MPa
校核
正应力之和不随旋转而变化。
σx′ = 31.21 MPa, σx′ + σy′ = 100 = σx + σy
答案
σy′ = 68.79 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: σ1 = 262.8 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
表面处的应力
σ = 32M/(πd³) = 32·1500000/(π·40³) = 238.7 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·40³) = 79.58 MPa
莫尔圆
C = σ/2 = 119.4 MPa
R = √(119.4² + 79.58²) = 143.5 MPa
σ1 = C + R = 262.8 MPa
σ2 = C − R = −24.09 MPa
答案
σ1 = 262.8 MPa
7.轴向应力与应变
答案: ε = 967.7 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 95·1000/490.9 = 193.5 MPa
应变（胡克定律）
E for 钢 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 193.5/200000 = 0.0009677 = 967.7 µε
答案
ε = 967.7 µε
8.轴向应力与应变
答案: δ = 7.519 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 57.17 MPa
σ2 = 486.3 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 57.17·1000/100000 = 0.5717 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 486.3·1000/70000 = 6.947 mm
δ = δ1 + δ2 = 7.519 mm
答案
δ = 7.519 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 267.4 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/1050² = 267367 N = 267.4 kN
答案
Pcr = 267.4 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 46.9 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·100000 = 300000 N
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 46.9 mm
答案
d = 46.9 mm
校核：长细比 KL/r 为 106.6，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.6
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(25000·250) = 5000 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 3000/5000 = 0.6
答案
ζ = 0.6
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: fn = 2.466 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 5 + 25 = 30 kN/m
keq = 30·20/(30 + 20) = 12 kN/m
固有频率
ωn = √(12000/50) = 15.49 rad/s
fn = 15.49/(2π) = 2.466 Hz
答案
fn = 2.466 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design