齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 0.55 kW、2900 rpm 的电动机驱动一个 2 头的蜗杆。蜗轮有 50 个齿，传动效率为 85%。求蜗轮轴上的输出转矩 Tw。
z = 2Nw = 50n = 2900 rpmP = 0.55 kWη = 85%
Tw = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（16 齿）以 1450 rpm 转动，驱动齿轮 B（48 齿）。齿轮 C（18 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（30 齿）。求输出转速 nout。
nin = 1450 rpmA = 16B = 48C = 18D = 30
nout = rpm
3.轴的扭转中等
在扭转试验中，一根直径 12 mm 的实心试件受 75 N·m 的扭矩作用。标距 400 mm 两端的相对转角为 10.55°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。
T = 75 N·md = 12 mmL = 400 mmφ = 10.55°
G = GPa
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 1800 rpm 下传递 20 kW，且切应力不超过 50 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 20 kWN = 1800 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 130 MPa、σᵧ = 10 MPa。在最大主应力达到 180 MPa 之前，切应力 τxy（大小）最大可以是多少？
σx = 130 MPaσy = 10 MPaσ1 = 180 MPa
τxy = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
一个薄壁圆柱形储罐，内径 500 mm，壁厚 10 mm，所盛气体的表压为 0.8 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 20° 的螺旋焊缝焊接而成。 求作用在焊缝上（垂直于焊缝）的正应力 σn。
D = 500 mmt = 10 mmp = 0.8 MPaα = 20°
σn = MPa
7.轴向应力与应变中等
求铝杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 75 kNd = 20 mmL = 2.5 mE = 70 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 50 kN第 1 段：Ø35 mm，0.5 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø20 mm，1.5 m，黄铜（E = 100 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 40 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 40 kNn = 2.5L = 6 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
11.机械振动中等
一个 2 kg 的质量块由刚度为 12 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 50 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 2 kgk = 12 kN/mc = 50 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 5 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 40 kN/m 和 k₂ = 50 kN/m。质量块保持水平。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 5 kgk1 = 40 kN/mk2 = 50 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: Tw = 38.49 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
蜗轮转速
nw = n·z/Nw = 2900·2/50 = 116 rpm
输出扭矩
ωw = 2π·116/60 = 12.15 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0.85·550/12.15 = 38.49 N·m
答案
Tw = 38.49 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 290 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 1450·16/48 = 483.3 rpm = nC
第二级
nout = 483.3·18/30 = 290 rpm
答案
nout = 290 rpm
总传动比 = 5 : 1
3.轴的扭转
答案: G = 80.03 GPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩和角度
J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 10.55·π/180 = 0.1841 rad
剪切模量
T = 75 N·m = 75000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 75000·400/(2036·0.1841) = 80033 MPa
G = 80.03 GPa
答案
G = 80.03 GPa
作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。
4.轴的扭转
答案: d = 22.11 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 20000/188.5 = 106.1 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·106103/(π·50)) = 22.11 mm
答案
d = 22.11 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.莫尔圆与应力变换
答案: τxy = 92.2 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
所需半径
C = (130 + 10)/2 = 70 MPa
R = σ1 − C = 180 − 70 = 110 MPa
切应力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(110² − 60²) = 92.2 MPa
答案
τxy = 92.2 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: σn = 18.83 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。
筒壁应力
r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 0.8·250/10 = 20 MPa
σa = pr/(2t) = 10 MPa
变换到焊缝
取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。
σn = 10·sin²20° + 20·cos²20° = 18.83 MPa
答案
σn = 18.83 MPa
7.轴向应力与应变
答案: ε = 3410 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 75·1000/314.2 = 238.7 MPa
应变（胡克定律）
E for 铝 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 238.7/70000 = 0.00341 = 3410 µε
答案
ε = 3410 µε
8.轴向应力与应变
答案: δ = 2.609 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 51.97 MPa
σ2 = 159.2 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 51.97·500/117000 = 0.2221 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 159.2·1500/100000 = 2.387 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.609 mm
答案
δ = 2.609 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 139.5 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
计算长度
KL = 1·3000 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/3000² = 139528 N = 139.5 kN
答案
Pcr = 139.5 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 84.92 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·40000 = 100000 N
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·4200²/(π³·70000))^(1/4) = 84.92 mm
答案
d = 84.92 mm
校核：长细比 KL/r 为 197.8，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.1614
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(12000·2) = 309.8 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 50/309.8 = 0.1614
答案
ζ = 0.1614
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: fn = 21.35 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 40 + 50 = 90 kN/m
固有频率
ωn = √(90000/5) = 134.2 rad/s
fn = 134.2/(2π) = 21.35 Hz
答案
fn = 21.35 Hz
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