物料与能量衡算：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

物料衡算

稳态: 输入 = 输出
总物料衡算: ṁ₁ + ṁ₂ = ṁ₃
组分衡算: ṁ₁x₁ + ṁ₂x₂ = ṁ₃x₃
蒸发器: F·x_F = P·x_P, W = F − P

能量衡算

显热: Q = ṁ·c_p·ΔT
潜热: Q = ṁ·h_fg
混合: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
水: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

化学计量

物质的量: n = m/M
浓度: c = n/V
物质的量之比: 使用配平方程式中的系数
限量反应物: 最先耗尽的那种反应物
产率: 实际产量 / 理论产量 × 100%

方法

写出并配平化学方程式。
把已知质量换算为物质的量：n = m/M。
用系数作为物质的量之比，求出所需物质的物质的量。
用 m = n·M 换算回质量。有两种反应物时，先找出限量反应物。

2练习题

1.物料衡算中等

每小时需向物流 1 加入多少物流 2，才能使混合产品含 35% 的糖？求 ṁ₂。

ṁ₁ = 1000 kg/hx₁ = 40 %x₂ = 15 %x₃ = 35 %

ṁ₂ = kg/h

2.物料衡算困难

蒸发器通过蒸出纯水来浓缩盐溶液。求产品流量 P，单位为 kg/h。

F = 1600 kg/hx_F = 19 %x_P = 60 %

P = kg/h

3.能量衡算中等

热乙醇在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 t_out。

ṁ_h = 0.5 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 60 °Cṁ_c = 1.5 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.能量衡算困难

热轻油在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 10% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁ_c。

ṁ_h = 2.5 kg/sc_p,h = 2.1 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 90 °Ct: 10 → 65 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.理想气体定律中等

10 g O₂在 250 kPa 和 85 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 10 gM = 32 g/molP = 250 kPaT = 85 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

6.理想气体定律困难

一定量的Ar从 150 kPa、20 L、15 °C 变化到 200 kPa 和 220 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 150 kPaV₁ = 20 LT₁ = 15 °CP₂ = 200 kPaT₂ = 220 °C

V₂ = L

7.化学计量中等

6 g Fe₂O₃ 与 8 g CO 按 Fe₂O₃ + 3CO → 2Fe + 3CO₂ 反应。最多能生成多少质量 m 的 Fe？

M(Fe₂O₃) = 159.69M(CO) = 28.01M(Fe) = 55.85 g/mol

m = g

8.化学计量困难

在反应 2Na + Cl₂ → 2NaCl 中，4 g Na 完全反应（其他反应物过量），收集到 9.56 g NaCl。求产率 Y。

M(Na) = 22.99 g/molM(NaCl) = 58.44 g/mol实际: 9.56 g

Y = %

3溶液

1.物料衡算

答案: ṁ₂ = 250 kg/h

稳态物料衡算：总量和每个组分都满足输入 = 输出。混合问题同时用到两者。

衡算

Total: ṁ₃ = ṁ₁ + ṁ₂

糖: ṁ₁x₁ + ṁ₂x₂ = (ṁ₁ + ṁ₂)x₃

求解 ṁ₂

ṁ₂ = ṁ₁(x₁ − x₃)/(x₃ − x₂) = 1000·(40 − 35)/(35 − 15) = 250 kg/h

答案

ṁ₂ = 250 kg/h

2.物料衡算

答案: P = 506.7 kg/h

联结组分：只在一股物流中不变地通过的组分（这里是溶质）可直接关联各流量。其余由总衡算求出。

溶质衡算

F·x_F = P·x_P → P = 1600·19/60 = 506.7 kg/h

答案

P = 506.7 kg/h

3.能量衡算

答案: t_out = 36.67 °C

换热器能量衡算：无损失时 ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)。

热流体放出的热量

Q = 0.5·2.44·(120 − 60) = 73.2 kW

水吸收的热量

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 73.2/(1.5·4.18) = 36.67 °C

答案

t_out = 36.67 °C

4.能量衡算

答案: ṁ_c = 1.85 kg/s

有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。

放出热量

Q_h = 2.5·2.1·(180 − 90) = 472.5 kW

传给水的热量

Q_c = (1 − 0.1)·472.5 = 425.3 kW

水流量

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 425.3/(4.18·55) = 1.85 kg/s

答案

ṁ_c = 1.85 kg/s

5.理想气体定律

答案: V = 3.722 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 10/32 = 0.3125 mol

T = 85 + 273.15 = 358.1 K

体积

V = nRT/P = 0.3125·8.314·358.1/250 = 3.722 L

答案

V = 3.722 L

6.理想气体定律

答案: V₂ = 25.67 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 288.1 K, T₂ = 493.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(150/200)·(493.1/288.1) = 25.67 L

答案

V₂ = 25.67 L

7.化学计量

答案: m = 4.197 g

化学计量：配平的方程式计的是粒子数，不是克数。用 n = m/M 把质量换算为物质的量，以方程式系数作为物质的量之比，再用 m = n·M 换算回质量。有两种反应物时，限量反应物是先耗尽、决定生成多少产物的那一种。

各反应物的物质的量

n(Fe₂O₃) = 6/159.69 = 0.03757 mol

n(CO) = 8/28.01 = 0.2856 mol

限量反应物

0.03757/1 = 0.03757, 0.2856/3 = 0.0952 → Fe₂O₃

产物的质量

n(Fe) = 0.03757·2 = 0.07515 mol

m = 0.07515·55.85 = 4.197 g

答案

m = 4.197 g

8.化学计量

答案: Y = 94.02 %

理论产量

n(Na) = 4/22.99 = 0.174 mol

m = 0.174·2/2·58.44 = 10.17 g

产率

Y = 9.56/10.17·100 = 94.02%

答案

Y = 94.02%

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