测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−2 V100 Ω100 Ω + ΔR100 Ω100 Ωab+−Vab​ = ?

某电桥的四个臂均为 100 Ω，Vs = 2 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 25 Ω。求精确输出 Vab，单位为 mV。

Vs = 2 VR = 100 ΩΔR = 25 Ω
Vab = mV
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−5 V120 Ω120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−3 mV

某 1/4 桥有一个工作应变片（GF = 2），激励电压为 5 V。受载时输出读数为 3 mV。求应变 ε，单位为 µε。

Vs = 5 VGF = 2Vo = 3 mV
ε = µε
3.数据采集与采样中等
Vin​N = ?100 mm2ᴺ − 10≤ 0.05 mm

一个传感器在 100 mm 的量程内测量距离，其输出充满 ADC 的整个输入范围。读数必须分辨出 0.05 mm。求 ADC 所需的最小位数 N。

量程 = 100 mm分辨率 = 0.05 mm
N =
4.数据采集与采样困难
f0fs​/2fs​2fs​3fs​8 kHz7f₁?

一个 8 kHz 方波在没有抗混叠滤波器的情况下以 20 kHz 采样。方波含有奇次谐波 3f₁、5f₁、7f₁、…… 它的谐波 7f₁ 在采样数据中出现在哪个频率 fa？以 kHz 给出。

f₁ = 8 kHzfs = 20 kHz谐波: 7f₁
fa = kHz
5.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 2 kΩR1​ = 2 kΩVin​ = 2 VRa​ = 47 kΩRb​ = 10 kΩ

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 求输出电压 Vout。

Vin = 2 VRa = 47 kΩRb = 10 kΩR1 = 2 kΩRf = 2 kΩ
Vout = V
6.运放电路困难
−+Vout​Rf​ = 10 kΩV1​ = 1.2 VR1​ = 100 kΩV2​ = −0.7 VR2​ = 4.7 kΩ

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。 求输出电压 Vout。

V1 = 1.2 VV2 = −0.7 VR1 = 100 kΩR2 = 4.7 kΩRf = 10 kΩ
Vout = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAR4​15 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 18 VR1 = 2 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 ΩR4 = 15 Ω
IR1 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 2 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​36 VR2​10 ΩIR2​AR4​25 ΩBR6​8 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 36 VR1 = 2 ΩR2 = 10 ΩR3 = 12 ΩR4 = 25 ΩR5 = 3 ΩR6 = 8 Ω
IR2 = A
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 18 VR1 = 2 ΩR2 = 6 ΩR3 = 15 Ω
IN = A
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​25 ΩAIs​6 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 12 VIs = 6 AR1 = 6 ΩR2 = 25 ΩR3 = 12 Ω
Vth = V

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: Vab = 111.1 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

节点电压

Va = 2·125/225 = 1.111 V
Vb = 1 V

出量

Vab = 111.1 mV

答案

Vab = 111.1 mV

线性估计 Vs·ΔR/(4R) = 125 mV 偏高 12.5 %：1/4 桥并不完全是线性的。

2.惠斯通电桥与应变片

答案: ε = 1200 µε

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

解 1/4 桥方程

ε = 4·0.003/(5·2) = 0.0012

以微应变表示

ε = 1200 µε

答案

ε = 1200 µε
3.数据采集与采样

答案: N = 11

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

所需台阶数

100/0.05 = 2000

位数

log₂(2000) = 10.97
210 = 1024 < 2000 ≤ 211 = 2048
N = 11

答案

N = 11
4.数据采集与采样

答案: fa = 4 kHz

采样：ADC 每秒测量信号 fs 次。根据奈奎斯特–香农定理，只有当 f < fs/2（奈奎斯特频率，也称折叠频率）时，频率 f 才能被正确采集，因此采样率必须超过最高信号频率的两倍。更高的频率不会丢失：它会作为混叠出现在 fa = |f − k·fs|，其中整数 k 使结果落在 0 到 fs/2 之间。采样点无法区分二者，因此必须在 ADC 之前用模拟抗混叠滤波器滤除 fs/2 以上的全部成分。

谐波频率

7f₁ = 7·8 kHz = 56 kHz

最接近的采样率整数倍

m = round(2.8) = 3

混叠频率

fa = |56 − 3·20| = 4 kHz

答案

fa = 4 kHz

混叠落在信号频带内，任何数字滤波器都无法去除它。只有在 ADC 之前使用模拟滤波器才有帮助。

5.运放电路

答案: Vout = 0.7018 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = Vin·Rb/(Ra + Rb) = 2·10/(47 + 10) = 0.3509 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 Rf。

Vout = V₊·(1 + Rf/R1) = 0.3509·(1 + 2/2) = 0.7018 V

答案

Vout = 0.7018 V
6.运放电路

答案: Vout = 1.369 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I1 = V1/R1 = 1.2/100 = 0.012 mA
I2 = V2/R2 = −0.7/4.7 = −0.1489 mA
If = I1 + I2 = −0.1369 mA

输出电压

Vout = −Rf·If = −10·(−0.1369) = 1.369 V

答案

Vout = 1.369 V
7.串并联电阻

答案: IR1 = 1.957 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAR4​15 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 3 + 15 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 12·18/(12+18) = 7.2 Ω
Req = R1 + 7.2 = 2 + 7.2 = 9.2 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 18/9.2 = 1.957 A

答案

IR1 = 1.957 A
8.串并联电阻

答案: IR2 = 2.765 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 2 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​36 VR2​10 ΩAR4​25 ΩBR6​8 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 3 + 8 = 11 Ω
R4 ∥ 11 = 7.639 Ω
R3 + 7.639 = 19.64 Ω
R2 ∥ 19.64 = 6.626 Ω
Req = R1 + 6.626 = 2 + 6.626 = 8.626 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 36/8.626 = 4.173 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 36 − 4.173·2 = 27.65 V
IR2 = VA/R2 = 27.65/10 = 2.765 A

答案

IR2 = 2.765 A
9.戴维南和诺顿

答案: IN = 0.8182 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω短路R2​6 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·6/(2+6) = 1.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.5 + 15 = 16.5 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·6/(2+6) = 13.5 V
IN​0.8182 ARth​16.5 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 13.5/16.5 = 0.8182 A
10.戴维南和诺顿

答案: Vth = 110.7 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω短路R2​25 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 6·25/(6+25) = 4.839 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4.839 + 12 = 16.84 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​25 ΩAIs​6 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 9.677 + 6·4.839 = 38.71 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 38.71 + 6·12 = 110.7 V

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