测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−10 V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−49.5 mV

某电桥的四个臂均为 350 Ω，由 10 V 供电。当传感器 R₂ 变化时，输出读数为 Vab = 49.5 mV。求 R₂ 的精确变化量 ΔR。

Vs = 10 VR = 350 ΩVab = 49.5 mV
ΔR = Ω
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−10 V120 Ω120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−3.75 mV

某构件（E = 210 GPa）上的应变片（GF = 2）接成 1/4 桥，激励电压为 10 V。输出读数为 3.75 mV。求轴向应力 σ，单位为 MPa。

Vs = 10 VGF = 2Vo = 3.75 mVE = 210 GPa
σ = MPa
3.数据采集与采样中等
Vin​N = 14VFSR​2ᴺ − 101 LSB

求 14 位 ADC 在满量程正弦波下的理想信号量化噪声比 SQNR。

N = 14
SQNR = dB
4.数据采集与采样困难
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​1/fbaud​12 MHz / (16·D)

一个时钟为 12 MHz 的微控制器把其 UART 波特率设为 fclk/(16·D)，其中 D 是四舍五入到最接近值的整数。目标是 57600 波特。求实际波特率的百分比误差（偏快时为正）。

fclk = 12 MHz目标 = 57600 Bd
e = %
5.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 47 kΩVin​R1​ = 2 kΩ

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源；其输出饱和电压为 ±13 V。 反相放大器由正弦波驱动。求输出不削波时的最大输入幅值 Vin,max（峰值）。

R1 = 2 kΩRf = 47 kΩVsat = ±13 V
Vin,max = V
6.运放电路困难
−+Vout​R2​ = 4.7 kΩV1​ = −1.2 VR1​ = 47 kΩV2​ = 0.5 VR3​ = 10 kΩR4​ = 4.7 kΩ

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 电阻比不匹配。求输出电压 Vout。

V1 = −1.2 VV2 = 0.5 VR1 = 47 kΩR2 = 4.7 kΩR3 = 10 kΩR4 = 4.7 kΩ
Vout = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 4 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​5 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 6 VR1 = 4 ΩR2 = 6 ΩR3 = 10 ΩR4 = 5 Ω
Req = Ω
8.串并联电阻困难
R1​ = 3 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​3 ΩAR4​4 ΩBR6​10 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 18 VR1 = 3 ΩR2 = 3 ΩR3 = 3 ΩR4 = 4 ΩR5 = 10 ΩR6 = 10 Ω
Req = Ω
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​15 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 10 VR1 = 4 ΩR2 = 15 ΩR3 = 12 Ω
IN = A
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 3 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​36 VR2​2 ΩAIs​1.5 ABRL​10 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 10 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 36 VIs = 1.5 AR1 = 3 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 ΩRL = 10 Ω
IL = A

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: ΔR = 6.999 Ω

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

节点电压

Va = 5 + 0.0495 = 5.05 V

解分压公式

R₂ = 350·5.05/(10 − 5.05) = 357 Ω
ΔR = 357 − 350 = 6.999 Ω

答案

ΔR = 6.999 Ω
2.惠斯通电桥与应变片

答案: σ = 157.5 MPa

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

应变

ε = 4·0.00375/(10·2) = 0.00075

应力

σ = 210·10³ MPa·0.00075 = 157.5 MPa

答案

σ = 157.5 MPa
3.数据采集与采样

答案: SQNR = 86.04 dB

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

理想 SQNR

SQNR = 6.02·14 + 1.76 = 86.04 dB

答案

SQNR = 86.04 dB
4.数据采集与采样

答案: e = 0.1603 %

UART：异步串行链路把每个字节作为一帧发送：一个起始位（低电平）、若干数据位、一个可选的校验位以及一个或两个停止位（高电平）。波特率是每秒的位数，所以一位持续 Tb = 1/波特率，n 位的一帧持续 n/波特率。常见的 8N1 格式每个字节占 10 位。波特率发生器对时钟分频：波特率 = fclk/(16·D)，其中 D 为整数，因此实际波特率与目标值略有差别；误差在约 2 % 以内通常可以接受。

分频系数

D = 12·10⁶/(16·57600) = 13.02 → 13

实际波特率

12·10⁶/(16·13) = 57692 Bd

误差

(57692 − 57600)/57600·100 = 0.1603 %

答案

e = 0.1603 %

误差低于约 2 % 通常可以接受。

5.运放电路

答案: Vin,max = 0.5532 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

增益

|Av| = Rf/R1 = 47/2 = 23.5

削波前的最大输入

Vin,max = Vsat/|Av| = 13/23.5 = 0.5532 V

答案

Vin,max = 0.5532 V
6.运放电路

答案: Vout = 0.2959 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 0.5·4.7/(10 + 4.7) = 0.1599 V

叠加两个输入

V₂ = 0 时，V₁ 看到的是反相放大器。V₁ = 0 时，V₊ 被同相增益 1 + R₂/R₁ 放大。

Vout = −(4.7/47)·(−1.2) + (1 + 4.7/47)·0.1599 = 0.12 + 0.1759 = 0.2959 V

答案

Vout = 0.2959 V
7.串并联电阻

答案: Req = 8.286 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 4 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​5 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 10 + 5 = 15 Ω
R2 ∥ 15 = 6·15/(6+15) = 4.286 Ω
Req = R1 + 4.286 = 4 + 4.286 = 8.286 Ω

答案

Req = 8.286 Ω
8.串并联电阻

答案: Req = 5.036 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 3 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​3 ΩAR4​4 ΩBR6​10 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 10 + 10 = 20 Ω
R4 ∥ 20 = 3.333 Ω
R3 + 3.333 = 6.333 Ω
R2 ∥ 6.333 = 2.036 Ω
Req = R1 + 2.036 = 3 + 2.036 = 5.036 Ω

答案

Req = 5.036 Ω
9.戴维南和诺顿

答案: IN = 0.5208 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω短路R2​15 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 4·15/(4+15) = 3.158 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.158 + 12 = 15.16 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​15 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·15/(4+15) = 7.895 V
IN​0.5208 ARth​15.16 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 7.895/15.16 = 0.5208 A
10.戴维南和诺顿

答案: IL = 1.474 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 3 ΩR3​ = 12 Ω短路R2​2 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 3·2/(3+2) = 1.2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.2 + 12 = 13.2 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​36 VR2​2 ΩAIs​1.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 14.4 + 1.5·1.2 = 16.2 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 16.2 + 1.5·12 = 34.2 V
Rth​ = 13.2 Ω+−Vth​34.2 VRL​10 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 34.2/(13.2 + 10) = 1.474 A

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