测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
出量: V_ab = V_a − V_b
平衡: R₁/R₂ = R₃/R₄
滑线电桥: R/R_x = l/(100 − l)
戴维南电阻: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
灵敏系数: ΔR/R = GF·ε
电桥输出: 1/4 桥 V_s·GF·ε/4，半桥 V_s·GF·ε/2，全桥 V_s·GF·ε
小变化，一个臂: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
应力: σ = E·ε

方法

把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
对不平衡电桥，由分压器求出 V_a 和 V_b 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 V_s·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
混叠频率: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
步长: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）: ±½ LSB
截断式 ADC 码值: D = ⌊V_in/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数: 2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波: SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率: 通道数 × f_s × N 比特/秒
多路复用 ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器: baud = f_clk/(16·D)

方法

先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
采样类题目，把每个频率与 f_s/2 比较；更高的频率会出现在 f_a = |f − k·f_s|，其中取最接近的 f_s 整数倍。
分辨率类题目，求 1 LSB = V_FSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率的最小 N。
数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等

某电桥的四个臂均为 470 Ω，由 15 V 供电。当传感器 R₂ 变化时，输出读数为 V_ab = 288.5 mV。求 R₂ 的精确变化量 ΔR。

V_s = 15 VR = 470 ΩV_ab = 288.5 mV

ΔR = Ω

2.惠斯通电桥与应变片困难

某电桥的各臂为 350 Ω，激励电压为 5 V，采用一个工作应变片（1/4 桥）。灵敏系数为 2，应变为 1200 µε。求电桥输出 V_o，单位为 mV。

V_s = 5 VGF = 2ε = 1200 µε

V_o = mV

3.数据采集与采样中等

一个 1.7 kHz 的正弦波在没有抗混叠滤波器的情况下以 2 kHz 采样。它在采样中出现在哪个频率 f_a？以 Hz 给出。

f = 1.7 kHzf_s = 2 kHz

f_a = Hz

4.数据采集与采样困难

一个 16 通道的多路复用器为一个 ADC 供给信号。每次转换需要 10 µs，每次切换通道后输入还需要 5 µs 建立。各通道不间断地依次扫描。求每个通道的采样率 f_s，单位 kHz。

n = 16t_c = 10 µst_set = 5 µs

f_s = kHz

5.运放电路中等

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R₃ = R₁，R₄ = R₂。求输出电压 V_out。

V₁ = 3 VV₂ = 2.2 VR₁ = R₃ = 22 kΩR₂ = R₄ = 10 kΩ

V_out = V

6.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±13 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = −2.5 V 时，电容未充电。求 t = 5 ms 时的输出电压 V_out。

V_in = −2.5 VR = 10 kΩC = 1 µFV_sat = ±13 Vt = 5 ms

V_out = V

7.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 30 VR₁ = 2 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

8.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 12 VR₁ = 30 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 20 Ω

I_R1 = A

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 9 VR₁ = 3 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 Ω

V_th = V

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 9 VI_s = 0.5 AR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 Ω

V_th = V

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: ΔR = 37.6 Ω

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 V_s。左侧分压器 R₁–R₂ 给出 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)，右侧分压器 R₃–R₄ 给出 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)；输出为 V_ab = V_a − V_b。当 R₁/R₂ = R₃/R₄，即 R₁·R₄ = R₂·R₃ 时，电桥平衡（V_ab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄。

节点电压

V_a = 7.5 + 0.2885 = 7.788 V

解分压公式

R₂ = 470·7.788/(15 − 7.788) = 507.6 Ω

ΔR = 507.6 − 470 = 37.6 Ω

答案

ΔR = 37.6 Ω

2.惠斯通电桥与应变片

答案: V_o = 3 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 V_o ≈ V_s·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 V_s·GF·ε/2，四个（全桥）给出 V_s·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 2·1200·10⁻⁶ = 0.0024

电桥输出

V_o ≈ V_s·GF·ε/4 = 5·0.0024/4 = 3 mV

答案

V_o = 3 mV

3.数据采集与采样

答案: f_a = 300 Hz

采样：ADC 每秒测量信号 f_s 次。根据奈奎斯特–香农定理，只有当 f < f_s/2（奈奎斯特频率，也称折叠频率）时，频率 f 才能被正确采集，因此采样率必须超过最高信号频率的两倍。更高的频率不会丢失：它会作为混叠出现在 f_a = |f − k·f_s|，其中整数 k 使结果落在 0 到 f_s/2 之间。采样点无法区分二者，因此必须在 ADC 之前用模拟抗混叠滤波器滤除 f_s/2 以上的全部成分。

奈奎斯特频率

f_s/2 = 1 kHz < f = 1.7 kHz

最接近的采样率整数倍

k = round(1700/2000) = 1

混叠频率

f_a = |1700 − 1·2000| = 300 Hz

答案

f_a = 300 Hz

图中的虚线曲线就是混叠：它恰好通过相同的采样点。

4.数据采集与采样

答案: f_s = 4.167 kHz

数据速率：每个通道每秒提供 f_s 个 N 位的采样，因此原始速率为通道数 × f_s × N bit/s。在内存中一个采样占用整数个字节（12 位采样存为 2 个字节），因此一段记录的内存为通道数 × f_s × 每个采样的字节数 × 时间。多路复用 ADC 依次转换各通道：每次转换（含建立时间）需要 t，所以 n 个通道转一轮需要 n·t，每个通道的采样频率为 1/(n·t)。

每个通道的时间

10 + 5 = 15 µs

每次扫描的时间

16·15 = 240 µs

每个通道的采样率

f_s = 1/240 µs = 4.167 kHz

答案

f_s = 4.167 kHz

5.运放电路

答案: V_out = −0.3636 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 2.2·10/(22 + 10) = 0.6875 V

V₋ = V₊

反相输入端的 KCL

(3 − 0.6875)/22 = (0.6875 − V_out)/10

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (10/22)·(2.2 − 3) = −0.3636 V

答案

V_out = −0.3636 V

6.运放电路

答案: V_out = 1.25 V

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 10 kΩ · 1 µF = 10 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −(−2.5)/10 = 0.25 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±V_sat 以内，所以积分器尚未限幅。

V_out = −V_in·t/(RC) = −(−2.5)·5/10 = 1.25 V

答案

V_out = 1.25 V

7.串并联电阻

答案: I_R1 = 7.941 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 4 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 2·16/(2+16) = 1.778 Ω

R_eq = R₁ + 1.778 = 2 + 1.778 = 3.778 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/3.778 = 7.941 A

答案

I_R1 = 7.941 A

8.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.3273 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 4 + 20 = 24 Ω

R₄ ∥ 24 = 8 Ω

R₃ + 8 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 6.667 Ω

R_eq = R₁ + 6.667 = 30 + 6.667 = 36.67 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/36.67 = 0.3273 A

答案

I_R1 = 0.3273 A

9.戴维南和诺顿

答案: V_th = 5.625 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 3·5/(3+5) = 1.875 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.875 + 8 = 9.875 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·5/(3+5) = 5.625 V

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 8.857 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 6·8/(6+8) = 3.429 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.429 + 4 = 7.429 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 5.143 + 0.5·3.429 = 6.857 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 6.857 + 0.5·4 = 8.857 V

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测量与仪器仪表：速成包

1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

方法

数据采集与采样

方法

运放电路

串并联电阻

方法

戴维南和诺顿

方法

2练习题

3溶液

节点电压

解分压公式

答案

电阻相对变化

电桥输出

答案

奈奎斯特频率

最接近的采样率整数倍

混叠频率

答案

每个通道的时间

每次扫描的时间

每个通道的采样率

答案

输入端的电压

反相输入端的 KCL

答案

输入电流和斜坡速率

给定时刻的输出

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th