测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−12 V200 Ω200 Ω + ΔR200 Ω200 Ωab+−Vab​ = ?

某电桥的四个臂均为 200 Ω，Vs = 12 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 1 Ω。用小变化近似求输出 Vab，单位为 mV。

Vs = 12 VR = 200 ΩΔR = 1 Ω
Vab = mV
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−5 V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−2.5 mV

某构件（E = 110 GPa）上的应变片（GF = 2）接成 1/4 桥，激励电压为 5 V。输出读数为 2.5 mV。求轴向应力 σ，单位为 MPa。

Vs = 5 VGF = 2Vo = 2.5 mVE = 110 GPa
σ = MPa
3.数据采集与采样中等
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​Tb​11·Tb​115200 Bd, 8N2

一条 UART 以 115200 波特、8N2 格式发送字节：8 个数据位、无校验和 2 个停止位，外加起始位。求它每秒最多能传输多少个数据字节。

baud = 115200 Bd8N2
RB = B/s
4.数据采集与采样困难
T10 mV/°C×2∿01N = 12, 2.5 V? °C/LSB

一个温度传感器给出 10 mV/°C（0 °C 时为 0 V）。其信号被放大 2 倍后送入量程为 0 到 2.5 V 的 12 位 ADC（1 LSB = VFSR/2ᴺ）。求对应一个 LSB 的温度变化 ΔTLSB。

S = 10 mV/°CG = 2N = 12VFSR = 2.5 V
ΔTLSB = °C
5.运放电路中等
−+Vout​R2​ = 10 kΩV1​ = 0.4 VR1​ = 2 kΩV2​ = 0.9 VR3​ = 2 kΩR4​ = 10 kΩ

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R3 = R1，R4 = R2。 求输出电压 Vout。

V1 = 0.4 VV2 = 0.9 VR1 = R3 = 2 kΩR2 = R4 = 10 kΩ
Vout = V
6.运放电路困难
−+Vout​C = 4.7 µFVin​ = 1.6 VR = 1 kΩ

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±12 V。在 t = 0 施加恒定输入 Vin = 1.6 V 时，电容未充电。 求 t = 5 ms 时的输出电压 Vout。

Vin = 1.6 VR = 1 kΩC = 4.7 µFVsat = ±12 Vt = 5 ms
Vout = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩIR2​AR4​8 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 24 VR1 = 15 ΩR2 = 10 ΩR3 = 8 ΩR4 = 8 Ω
IR2 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 25 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​25 ΩBR6​15 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 6 VR1 = 25 ΩR2 = 6 ΩR3 = 20 ΩR4 = 25 ΩR5 = 2 ΩR6 = 15 Ω
Req = Ω
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 18 VR1 = 12 ΩR2 = 20 ΩR3 = 15 Ω
IN = A
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 12 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩAIs​4 ABRL​12 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 12 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 18 VIs = 4 AR1 = 12 ΩR2 = 4 ΩR3 = 3 ΩRL = 12 Ω
PL = W

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: Vab = 15 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

相对变化

ΔR/R = 1/200 = 0.005

线性化输出

Vab ≈ 12·0.005/4 = 15 mV

答案

Vab = 15 mV

精确值为 14.96 mV；只要 ΔR/R 很小，这个近似就很好。

2.惠斯通电桥与应变片

答案: σ = 110 MPa

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

应变

ε = 4·0.0025/(5·2) = 0.001

应力

σ = 110·10³ MPa·0.001 = 110 MPa

答案

σ = 110 MPa
3.数据采集与采样

答案: RB = 10473 B/s

UART：异步串行链路把每个字节作为一帧发送：一个起始位（低电平）、若干数据位、一个可选的校验位以及一个或两个停止位（高电平）。波特率是每秒的位数，所以一位持续 Tb = 1/波特率，n 位的一帧持续 n/波特率。常见的 8N1 格式每个字节占 10 位。波特率发生器对时钟分频：波特率 = fclk/(16·D)，其中 D 为整数，因此实际波特率与目标值略有差别；误差在约 2 % 以内通常可以接受。

每帧位数

1 + 8 + 0 + 2 = 11

字节速率

115200/11 = 10473 B/s

答案

RB = 10473 B/s
4.数据采集与采样

答案: ΔTLSB = 0.03052 °C

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

步长

1 LSB = 2500/4096 = 0.6104 mV

ADC 处的灵敏度

10·2 = 20 mV/°C

温度分辨率

ΔTLSB = 0.6104/20 = 0.03052 °C

答案

ΔTLSB = 0.03052 °C

ADC 在 125 °C 时达到满量程。

5.运放电路

答案: Vout = 2.5 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 0.9·10/(2 + 10) = 0.75 V
V₋ = V₊

反相输入端的 KCL

(0.4 − 0.75)/2 = (0.75 − Vout)/10
Vout = (R2/R1)·(V2 − V1) = (10/2)·(0.9 − 0.4) = 2.5 V

答案

Vout = 2.5 V
6.运放电路

答案: Vout = −1.702 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 1 kΩ · 4.7 µF = 4.7 ms
斜坡速率 = −Vin/(RC) = −1.6/4.7 = −0.3404 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±Vsat 以内，所以积分器尚未限幅。

Vout = −Vin·t/(RC) = −1.6·5/4.7 = −1.702 V

答案

Vout = −1.702 V
7.串并联电阻

答案: IR2 = 0.6982 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩAR4​8 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 8 + 8 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 10·16/(10+16) = 6.154 Ω
Req = R1 + 6.154 = 15 + 6.154 = 21.15 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 24/21.15 = 1.135 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 1.135·15 = 6.982 V
IR2 = VA/R2 = 6.982/10 = 0.6982 A

答案

IR2 = 0.6982 A
8.串并联电阻

答案: Req = 30 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 25 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​25 ΩBR6​15 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 2 + 15 = 17 Ω
R4 ∥ 17 = 10.12 Ω
R3 + 10.12 = 30.12 Ω
R2 ∥ 30.12 = 5.003 Ω
Req = R1 + 5.003 = 25 + 5.003 = 30 Ω

答案

Req = 30 Ω
9.戴维南和诺顿

答案: IN = 0.5 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω短路R2​20 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 12·20/(12+20) = 7.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7.5 + 15 = 22.5 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·20/(12+20) = 11.25 V
IN​0.5 ARth​22.5 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 11.25/22.5 = 0.5 A
10.戴维南和诺顿

答案: PL = 30.08 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 12 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​4 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 12·4/(12+4) = 3 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3 + 3 = 6 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4.5 + 4·3 = 16.5 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 16.5 + 4·3 = 28.5 V
Rth​ = 6 Ω+−Vth​28.5 VRL​12 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 28.5/(6 + 12) = 1.583 A
PL = IL²·RL = 1.583²·12 = 30.08 W

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