测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−9 V1000 Ω1000 Ω + ΔR1000 Ω1000 Ωab+−Vab​ = ?

某电桥的四个臂均为 1000 Ω，Vs = 9 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 5 Ω。用小变化近似求输出 Vab，单位为 mV。

Vs = 9 VR = 1000 ΩΔR = 5 Ω
Vab = mV
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−12 V350 Ω − ΔR350 Ω + ΔR350 Ω + ΔR350 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

某称重传感器（应变片全桥）在额定载荷 50 kg 时的额定输出为 3 mV/V。激励电压为 12 V。求它在 40 kg 载荷下的输出 Vo。

3 mV/VFrated = 50 kgVs = 12 VF = 40 kg
Vo = mV
3.数据采集与采样中等
Vin​N = ?200 mm2ᴺ − 10≤ 0.1 mm

一个传感器在 200 mm 的量程内测量距离，其输出充满 ADC 的整个输入范围。读数必须分辨出 0.1 mm。求 ADC 所需的最小位数 N。

量程 = 200 mm分辨率 = 0.1 mm
N =
4.数据采集与采样困难
f0fs​/2fs​600 Hz7f₁?

一个 600 Hz 方波在没有抗混叠滤波器的情况下以 5 kHz 采样。方波含有奇次谐波 3f₁、5f₁、7f₁、…… 它的谐波 7f₁ 在采样数据中出现在哪个频率 fa？以 Hz 给出。

f₁ = 600 Hzfs = 5 kHz谐波: 7f₁
fa = Hz
5.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = ?R1​ = 22 kΩVin​

选择反馈电阻 Rf，使该同相放大器的电压增益为 10。

R1 = 22 kΩAv = 10
Rf = kΩ
6.运放电路困难
−+Vout​C = 2.2 µFVin​ = 1.9 VR = 2.2 kΩ

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±14 V。在 t = 0 施加恒定输入 Vin = 1.9 V 时，电容未充电。 t = 0 之后多长时间输出达到饱和？求 t。

Vin = 1.9 VR = 2.2 kΩC = 2.2 µFVsat = ±14 V
t = ms
7.串并联电阻中等
R1​ = 3 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAR4​3 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 10 VR1 = 3 ΩR2 = 12 ΩR3 = 5 ΩR4 = 3 Ω
Req = Ω
8.串并联电阻困难
R1​ = 5 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩIR2​AR4​8 ΩBR6​8 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 18 VR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 2 ΩR4 = 8 ΩR5 = 12 ΩR6 = 8 Ω
IR2 = A
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 5 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 12 VR1 = 5 ΩR2 = 2 ΩR3 = 2 Ω
IN = A
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 15 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​15 ΩAIs​1 ABRL​10 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 10 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 10 VIs = 1 AR1 = 15 ΩR2 = 15 ΩR3 = 15 ΩRL = 10 Ω
PL = W

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: Vab = 11.25 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

相对变化

ΔR/R = 5/1000 = 0.005

线性化输出

Vab ≈ 9·0.005/4 = 11.25 mV

答案

Vab = 11.25 mV

精确值为 11.22 mV；只要 ΔR/R 很小，这个近似就很好。

2.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 28.8 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

满量程输出

3·12 = 36 mV

该载荷下的输出

Vo = 36·40/50 = 28.8 mV

答案

Vo = 28.8 mV
3.数据采集与采样

答案: N = 11

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

所需台阶数

200/0.1 = 2000

位数

log₂(2000) = 10.97
210 = 1024 < 2000 ≤ 211 = 2048
N = 11

答案

N = 11
4.数据采集与采样

答案: fa = 800 Hz

采样：ADC 每秒测量信号 fs 次。根据奈奎斯特–香农定理，只有当 f < fs/2（奈奎斯特频率，也称折叠频率）时，频率 f 才能被正确采集，因此采样率必须超过最高信号频率的两倍。更高的频率不会丢失：它会作为混叠出现在 fa = |f − k·fs|，其中整数 k 使结果落在 0 到 fs/2 之间。采样点无法区分二者，因此必须在 ADC 之前用模拟抗混叠滤波器滤除 fs/2 以上的全部成分。

谐波频率

7f₁ = 7·600 Hz = 4.2 kHz

最接近的采样率整数倍

m = round(0.84) = 1

混叠频率

fa = |4200 − 1·5000| = 800 Hz

答案

fa = 800 Hz

混叠落在信号频带内，任何数字滤波器都无法去除它。只有在 ADC 之前使用模拟滤波器才有帮助。

5.运放电路

答案: Rf = 198 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = Vin，且流过 R₁ 的电流也流过 Rf，所以 Vout = Vin·(1 + Rf/R₁)。

Av = 1 + Rf/R1
Rf = (10 − 1)·22 = 198 kΩ

答案

Rf = 198 kΩ
6.运放电路

答案: t = 35.66 ms

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 2.2 kΩ · 2.2 µF = 4.84 ms
斜坡速率 = −Vin/(RC) = −1.9/4.84 = −0.3926 V/ms

达到饱和的时间

|Vin|·t/(RC) = Vsat → t = Vsat·RC/|Vin| = 14·4.84/1.9 = 35.66 ms

答案

t = 35.66 ms
7.串并联电阻

答案: Req = 7.8 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 3 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAR4​3 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 5 + 3 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 12·8/(12+8) = 4.8 Ω
Req = R1 + 4.8 = 3 + 4.8 = 7.8 Ω

答案

Req = 7.8 Ω
8.串并联电阻

答案: IR2 = 0.7265 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 5 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAR4​8 ΩBR6​8 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 12 + 8 = 20 Ω
R4 ∥ 20 = 5.714 Ω
R3 + 5.714 = 7.714 Ω
R2 ∥ 7.714 = 4.696 Ω
Req = R1 + 4.696 = 5 + 4.696 = 9.696 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 18/9.696 = 1.857 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 1.857·5 = 8.717 V
IR2 = VA/R2 = 8.717/12 = 0.7265 A

答案

IR2 = 0.7265 A
9.戴维南和诺顿

答案: IN = 1 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​2 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·2/(5+2) = 1.429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.429 + 2 = 3.429 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·2/(5+2) = 3.429 V
IN​1 ARth​3.429 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 3.429/3.429 = 1 A
10.戴维南和诺顿

答案: PL = 2.899 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 15 ΩR3​ = 15 Ω短路R2​15 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 15·15/(15+15) = 7.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7.5 + 15 = 22.5 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​15 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 5 + (−1)·7.5 = −2.5 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −2.5 + (−1)·15 = −17.5 V
Rth​ = 22.5 Ω−+Vth​17.5 VRL​10 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = −17.5/(22.5 + 10) = −0.5385 A
PL = IL²·RL = −0.5385²·10 = 2.899 W

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