测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−12 VR1​ = 10 ΩR2​ = 1000 ΩR3​ = 300 ΩR4​ = 600 ΩabGRg​ = 500 Ω

一个电阻为 500 Ω 的检流计接在图示电桥的 a 和 b 之间（Vs = 12 V）。求从 a 流向 b 的检流计电流 Ig，单位为 µA。

Vs = 12 VR1 = 10 ΩR2 = 1000 ΩR3 = 300 ΩR4 = 600 ΩRg = 500 Ω
Ig = µA
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−3 V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−Vo​

某 1/4 桥（一个工作应变片，GF = 2）的激励电压为 3 V。要测量的最大应变为 400 µε，它在模数转换器输入端必须给出 2.5 V。求放大器增益 G。

Vs = 3 VGF = 2εmax = 400 µεVFS = 2.5 V
G =
3.数据采集与采样中等
Vin​N = 810 V2ᴺ − 101 LSB8.617 V?

一个输入量程为 0 到 10 V 的 8 位 ADC 采用截断：其输出码为 ⌊Vin/LSB⌋，其中 1 LSB = VFSR/2ᴺ。求输入 8.617 V 时的十进制输出码 D。

N = 8VFSR = 10 VVin = 8.617 V
D =
4.数据采集与采样困难
126⋮6 ch∿01tc​ = 2 µstset​ = 2.5 µsfs​ = ?

一个 6 通道的多路复用器为一个 ADC 供给信号。每次转换需要 2 µs，每次切换通道后输入还需要 2.5 µs 建立。各通道不间断地依次扫描。求每个通道的采样率 fs，单位 kHz。

n = 6tc = 2 µstset = 2.5 µs
fs = kHz
5.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 100 kΩR1​ = 22 kΩVin​ = −1 V

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 求输出电压 Vout。

Vin = −1 VR1 = 22 kΩRf = 100 kΩ
Vout = V
6.运放电路困难
−+Vout​Rf​ = 10 kΩV1​ = −2 VR1​ = 4.7 kΩV2​ = 1 VR2​ = 1 kΩ

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。 求输出电压 Vout。

V1 = −2 VV2 = 1 VR1 = 4.7 kΩR2 = 1 kΩRf = 10 kΩ
Vout = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 15 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​8 ΩAR4​5 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 24 VR1 = 15 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 ΩR4 = 5 Ω
Req = Ω
8.串并联电阻困难
R1​ = 5 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩIR2​AR4​8 ΩBR6​25 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 30 VR1 = 5 ΩR2 = 3 ΩR3 = 8 ΩR4 = 8 ΩR5 = 4 ΩR6 = 25 Ω
IR2 = A
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 2 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 9 VR1 = 2 ΩR2 = 4 ΩR3 = 20 Ω
Vth = V
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 2 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​36 VR2​2 ΩAIs​1 ABRL​10 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 10 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 36 VIs = 1 AR1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 ΩRL = 10 Ω
IL = A

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: Ig = 5467 µA

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

戴维南电压

Vth = 12·(1000/1010 − 600/900) = 3.881 V

戴维南电阻

Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 209.9 Ω

检流计电流

Ig = 3.881/(209.9 + 500) = 5467 µA

答案

Ig = 5467 µA
2.惠斯通电桥与应变片

答案: G = 4167

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

满量程时的电桥输出

Vo = 0.6 mV

增益

G = 2.5/0.0006 = 4167

答案

G = 4167
3.数据采集与采样

答案: D = 220

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

步长

1 LSB = 10/28 = 39.06 mV

码值

Vin/LSB = 8617/39.06 = 220.6
码值 = ⌊220.6⌋ = 220

答案

D = 220

用二进制表示是 11011100。

4.数据采集与采样

答案: fs = 37.04 kHz

数据速率：每个通道每秒提供 fs 个 N 位的采样，因此原始速率为 通道数 × fs × N bit/s。在内存中一个采样占用整数个字节（12 位采样存为 2 个字节），因此一段记录的内存为 通道数 × fs × 每个采样的字节数 × 时间。多路复用 ADC 依次转换各通道：每次转换（含建立时间）需要 t，所以 n 个通道转一轮需要 n·t，每个通道的采样频率为 1/(n·t)。

每个通道的时间

2 + 2.5 = 4.5 µs

每次扫描的时间

6·4.5 = 27 µs

每个通道的采样率

fs = 1/27 µs = 37.04 kHz

答案

fs = 37.04 kHz
5.运放电路

答案: Vout = −5.545 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = −1 V
I = V₋/R1 = −1/22 = −0.04545 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 Rf。

Vout = V₋ + I·Rf = −1 + (−0.04545)·100 = −5.545 V

答案

Vout = −5.545 V
6.运放电路

答案: Vout = −5.745 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I1 = V1/R1 = −2/4.7 = −0.4255 mA
I2 = V2/R2 = 1/1 = 1 mA
If = I1 + I2 = 0.5745 mA

输出电压

Vout = −Rf·If = −10·0.5745 = −5.745 V

答案

Vout = −5.745 V
7.串并联电阻

答案: Req = 19 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 15 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​8 ΩAR4​5 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 3 + 5 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 8·8/(8+8) = 4 Ω
Req = R1 + 4 = 15 + 4 = 19 Ω

答案

Req = 19 Ω
8.串并联电阻

答案: IR2 = 3.315 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 5 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩAR4​8 ΩBR6​25 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 4 + 25 = 29 Ω
R4 ∥ 29 = 6.27 Ω
R3 + 6.27 = 14.27 Ω
R2 ∥ 14.27 = 2.479 Ω
Req = R1 + 2.479 = 5 + 2.479 = 7.479 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 30/7.479 = 4.011 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 4.011·5 = 9.944 V
IR2 = VA/R2 = 9.944/3 = 3.315 A

答案

IR2 = 3.315 A
9.戴维南和诺顿

答案: Vth = 6 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 20 Ω短路R2​4 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·4/(2+4) = 1.333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.333 + 20 = 21.33 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·4/(2+4) = 6 V
10.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.2174 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 12 Ω短路R2​2 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·2/(2+2) = 1 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1 + 12 = 13 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​36 VR2​2 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 18 + (−1)·1 = 17 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 17 + (−1)·12 = 5 V
Rth​ = 13 Ω+−Vth​5 VRL​10 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 5/(13 + 10) = 0.2174 A

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