测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−12 VR1​ = 250 ΩR2​ = 20 ΩR3​ = 1000 ΩR4​ = 40 ΩabGRg​ = 200 Ω

一个电阻为 200 Ω 的检流计接在图示电桥的 a 和 b 之间（Vs = 12 V）。求从 a 流向 b 的检流计电流 Ig，单位为 µA。

Vs = 12 VR1 = 250 ΩR2 = 20 ΩR3 = 1000 ΩR4 = 40 ΩRg = 200 Ω
Ig = µA
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−5 V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−2.65 mV

某构件（E = 200 GPa）上的应变片（GF = 2.12）接成 1/4 桥，激励电压为 5 V。输出读数为 2.65 mV。求轴向应力 σ，单位为 MPa。

Vs = 5 VGF = 2.12Vo = 2.65 mVE = 200 GPa
σ = MPa
3.数据采集与采样中等
Vin​N = ?3.3 V2ᴺ − 10≤ 0.2 mV

一个输入量程为 0 到 3.3 V 的 ADC 必须分辨 0.2 mV 或更小的台阶。求最小位数 N。

VFSR = 3.3 V分辨率 = 0.2 mV
N =
4.数据采集与采样困难
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​1/fbaud​4 MHz / (16·D)

一个时钟为 4 MHz 的微控制器把其 UART 波特率设为 fclk/(16·D)，其中 D 是四舍五入到最接近值的整数。目标是 19200 波特。求实际波特率的百分比误差（偏快时为正）。

fclk = 4 MHz目标 = 19200 Bd
e = %
5.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 4.7 kΩR1​ = 2 kΩVin​ = 4 VRa​ = 10 kΩRb​ = 10 kΩ

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 求输出电压 Vout。

Vin = 4 VRa = 10 kΩRb = 10 kΩR1 = 2 kΩRf = 4.7 kΩ
Vout = V
6.运放电路困难
Vin​V1​Vout​第 1 级：反相R1​ = 22 kΩRf1​ = 22 kΩ第 2 级：同相R2​ = 10 kΩRf2​ = 47 kΩ

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R1，Rf1），后接一个同相放大器（R2 接地，Rf2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。 输入为 Vin = −0.35 V。求输出电压 Vout。

R1 = 22 kΩRf1 = 22 kΩR2 = 10 kΩRf2 = 47 kΩVin = −0.35 V
Vout = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 4 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​6 VR2​8 ΩIR2​AR4​12 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 6 VR1 = 4 ΩR2 = 8 ΩR3 = 20 ΩR4 = 12 Ω
IR2 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 8 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAR4​6 ΩBR6​6 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 6 VR1 = 2 ΩR2 = 3 ΩR3 = 8 ΩR4 = 6 ΩR5 = 4 ΩR6 = 6 Ω
IR1 = A
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 6 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 12 VR1 = 6 ΩR2 = 8 ΩR3 = 6 Ω
Rth = Ω
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 6 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​10 ΩAIs​1 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 12 VIs = 1 AR1 = 6 ΩR2 = 10 ΩR3 = 6 Ω
IN = A

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: Ig = 1663 µA

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

戴维南电压

Vth = 12·(20/270 − 40/1040) = 0.4274 V

戴维南电阻

Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 56.98 Ω

检流计电流

Ig = 0.4274/(56.98 + 200) = 1663 µA

答案

Ig = 1663 µA
2.惠斯通电桥与应变片

答案: σ = 200 MPa

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

应变

ε = 4·0.00265/(5·2.12) = 0.001

应力

σ = 200·10³ MPa·0.001 = 200 MPa

答案

σ = 200 MPa
3.数据采集与采样

答案: N = 15

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

所需台阶数

3300 mV/0.2 mV = 16500

位数

log₂(16500) = 14.01
214 = 16384 < 16500 ≤ 215 = 32768
N = 15

答案

N = 15
4.数据采集与采样

答案: e = 0.1603 %

UART：异步串行链路把每个字节作为一帧发送：一个起始位（低电平）、若干数据位、一个可选的校验位以及一个或两个停止位（高电平）。波特率是每秒的位数，所以一位持续 Tb = 1/波特率，n 位的一帧持续 n/波特率。常见的 8N1 格式每个字节占 10 位。波特率发生器对时钟分频：波特率 = fclk/(16·D)，其中 D 为整数，因此实际波特率与目标值略有差别；误差在约 2 % 以内通常可以接受。

分频系数

D = 4·10⁶/(16·19200) = 13.02 → 13

实际波特率

4·10⁶/(16·13) = 19231 Bd

误差

(19231 − 19200)/19200·100 = 0.1603 %

答案

e = 0.1603 %

误差低于约 2 % 通常可以接受。

5.运放电路

答案: Vout = 6.7 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = Vin·Rb/(Ra + Rb) = 4·10/(10 + 10) = 2 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 Rf。

Vout = V₊·(1 + Rf/R1) = 2·(1 + 4.7/2) = 6.7 V

答案

Vout = 6.7 V
6.运放电路

答案: Vout = 1.995 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

各级的增益

A1 = −Rf1/R1 = −22/22 = −1
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 47/10 = 5.7

逐级计算

V1 = −1·(−0.35) = 0.35 V
Vout = 5.7·0.35 = 1.995 V

答案

Vout = 1.995 V
7.串并联电阻

答案: IR2 = 0.4615 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 4 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​6 VR2​8 ΩAR4​12 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 20 + 12 = 32 Ω
R2 ∥ 32 = 8·32/(8+32) = 6.4 Ω
Req = R1 + 6.4 = 4 + 6.4 = 10.4 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 6/10.4 = 0.5769 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0.5769·4 = 3.692 V
IR2 = VA/R2 = 3.692/8 = 0.4615 A

答案

IR2 = 0.4615 A
8.串并联电阻

答案: IR1 = 1.367 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 2 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAR4​6 ΩBR6​6 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 4 + 6 = 10 Ω
R4 ∥ 10 = 3.75 Ω
R3 + 3.75 = 11.75 Ω
R2 ∥ 11.75 = 2.39 Ω
Req = R1 + 2.39 = 2 + 2.39 = 4.39 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 6/4.39 = 1.367 A

答案

IR1 = 1.367 A
9.戴维南和诺顿

答案: Rth = 9.429 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 6 ΩR3​ = 6 Ω短路R2​8 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 6·8/(6+8) = 3.429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.429 + 6 = 9.429 Ω
10.戴维南和诺顿

答案: IN = 1.769 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 6 ΩR3​ = 6 Ω短路R2​10 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 6·10/(6+10) = 3.75 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.75 + 6 = 9.75 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​10 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7.5 + 1·3.75 = 11.25 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 11.25 + 1·6 = 17.25 V
IN​1.769 ARth​9.75 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 17.25/9.75 = 1.769 A

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