测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−15 VR1​ = 500 ΩR2​ = 120 ΩR3​ = 500 ΩR4​ = 400 Ωab+−Rth​ = ?

求图示电桥从输出端 a、b 看进去的戴维南电阻 Rth。

Vs = 15 VR1 = 500 ΩR2 = 120 ΩR3 = 500 ΩR4 = 400 Ω
Rth = Ω
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−3 V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−0.6 mV

某构件（E = 110 GPa）上的应变片（GF = 2）接成 1/4 桥，激励电压为 3 V。输出读数为 0.6 mV。求轴向应力 σ，单位为 MPa。

Vs = 3 VGF = 2Vo = 0.6 mVE = 110 GPa
σ = MPa
3.数据采集与采样中等
tTs​ = 1/fs​f = 2.2 kHzfs​ = 2 kHz

一个 2.2 kHz 的正弦波在没有抗混叠滤波器的情况下以 2 kHz 采样。它在采样中出现在哪个频率 fa？以 Hz 给出。

f = 2.2 kHzfs = 2 kHz
fa = Hz
4.数据采集与采样困难
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​1/fbaud​8 MHz / (16·D)

一个时钟为 8 MHz 的微控制器把其 UART 波特率设为 fclk/(16·D)，其中 D 是四舍五入到最接近值的整数。目标是 2400 波特。求实际波特率的百分比误差（偏快时为正）。

fclk = 8 MHz目标 = 2400 Bd
e = %
5.运放电路中等
−+Vout​R2​ = 2 kΩV1​ = 2.8 VR1​ = 1 kΩV2​ = 1 VR3​ = 1 kΩR4​ = 2 kΩ

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R3 = R1，R4 = R2。 求输出电压 Vout。

V1 = 2.8 VV2 = 1 VR1 = R3 = 1 kΩR2 = R4 = 2 kΩ
Vout = V
6.运放电路困难
−+Vout​Rf​ = 10 kΩV1​ = −1.3 VR1​ = 100 kΩV2​ = 0.4 VR2​ = 2 kΩ

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。 求输出电压 Vout。

V1 = −1.3 VV2 = 0.4 VR1 = 100 kΩR2 = 2 kΩRf = 10 kΩ
Vout = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 5 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​18 VR2​8 ΩIR2​AR4​12 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 18 VR1 = 5 ΩR2 = 8 ΩR3 = 15 ΩR4 = 12 Ω
IR2 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 8 ΩIR1​R3​ = 3 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩAR4​15 ΩBR6​3 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 18 VR1 = 8 ΩR2 = 6 ΩR3 = 3 ΩR4 = 15 ΩR5 = 3 ΩR6 = 3 Ω
IR1 = A
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 9 VR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 6 Ω
IN = A
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 5 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAIs​2.5 ABRL​5 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 5 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 18 VIs = 2.5 AR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 4 ΩRL = 5 Ω
PL = W

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: Rth = 319 Ω

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

电源短路

R₁∥R₂ = 500·120/620 = 96.77 Ω
R₃∥R₄ = 500·400/900 = 222.2 Ω

戴维南电阻

Rth = 319 Ω

答案

Rth = 319 Ω
2.惠斯通电桥与应变片

答案: σ = 44 MPa

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

应变

ε = 4·0.0006/(3·2) = 0.0004

应力

σ = 110·10³ MPa·0.0004 = 44 MPa

答案

σ = 44 MPa
3.数据采集与采样

答案: fa = 200 Hz

采样：ADC 每秒测量信号 fs 次。根据奈奎斯特–香农定理，只有当 f < fs/2（奈奎斯特频率，也称折叠频率）时，频率 f 才能被正确采集，因此采样率必须超过最高信号频率的两倍。更高的频率不会丢失：它会作为混叠出现在 fa = |f − k·fs|，其中整数 k 使结果落在 0 到 fs/2 之间。采样点无法区分二者，因此必须在 ADC 之前用模拟抗混叠滤波器滤除 fs/2 以上的全部成分。

奈奎斯特频率

fs/2 = 1 kHz < f = 2.2 kHz

最接近的采样率整数倍

k = round(2200/2000) = 1

混叠频率

fa = |2200 − 1·2000| = 200 Hz

答案

fa = 200 Hz

图中的虚线曲线就是混叠：它恰好通过相同的采样点。

4.数据采集与采样

答案: e = 0.1603 %

UART：异步串行链路把每个字节作为一帧发送：一个起始位（低电平）、若干数据位、一个可选的校验位以及一个或两个停止位（高电平）。波特率是每秒的位数，所以一位持续 Tb = 1/波特率，n 位的一帧持续 n/波特率。常见的 8N1 格式每个字节占 10 位。波特率发生器对时钟分频：波特率 = fclk/(16·D)，其中 D 为整数，因此实际波特率与目标值略有差别；误差在约 2 % 以内通常可以接受。

分频系数

D = 8·10⁶/(16·2400) = 208.3 → 208

实际波特率

8·10⁶/(16·208) = 2404 Bd

误差

(2404 − 2400)/2400·100 = 0.1603 %

答案

e = 0.1603 %

误差低于约 2 % 通常可以接受。

5.运放电路

答案: Vout = −3.6 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 1·2/(1 + 2) = 0.6667 V
V₋ = V₊

反相输入端的 KCL

(2.8 − 0.6667)/1 = (0.6667 − Vout)/2
Vout = (R2/R1)·(V2 − V1) = (2/1)·(1 − 2.8) = −3.6 V

答案

Vout = −3.6 V
6.运放电路

答案: Vout = −1.87 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I1 = V1/R1 = −1.3/100 = −0.013 mA
I2 = V2/R2 = 0.4/2 = 0.2 mA
If = I1 + I2 = 0.187 mA

输出电压

Vout = −Rf·If = −10·0.187 = −1.87 V

答案

Vout = −1.87 V
7.串并联电阻

答案: IR2 = 1.243 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 5 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​18 VR2​8 ΩAR4​12 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 15 + 12 = 27 Ω
R2 ∥ 27 = 8·27/(8+27) = 6.171 Ω
Req = R1 + 6.171 = 5 + 6.171 = 11.17 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 18/11.17 = 1.611 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 1.611·5 = 9.944 V
IR2 = VA/R2 = 9.944/8 = 1.243 A

答案

IR2 = 1.243 A
8.串并联电阻

答案: IR1 = 1.594 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 8 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩAR4​15 ΩBR6​3 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 3 + 3 = 6 Ω
R4 ∥ 6 = 4.286 Ω
R3 + 4.286 = 7.286 Ω
R2 ∥ 7.286 = 3.29 Ω
Req = R1 + 3.29 = 8 + 3.29 = 11.29 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 18/11.29 = 1.594 A

答案

IR1 = 1.594 A
9.戴维南和诺顿

答案: IN = 0.6667 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ω短路R2​12 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·12/(5+12) = 3.529 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.529 + 6 = 9.529 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·12/(5+12) = 6.353 V
IN​0.6667 ARth​9.529 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 6.353/9.529 = 0.6667 A
10.戴维南和诺顿

答案: PL = 31.66 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 4 Ω短路R2​12 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·12/(5+12) = 3.529 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.529 + 4 = 7.529 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAIs​2.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 12.71 + 2.5·3.529 = 21.53 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 21.53 + 2.5·4 = 31.53 V
Rth​ = 7.529 Ω+−Vth​31.53 VRL​5 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 31.53/(7.529 + 5) = 2.516 A
PL = IL²·RL = 2.516²·5 = 31.66 W

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