测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−5 V220 Ω220 Ω + ΔR220 Ω220 Ωab+−Vab​ = ?

某电桥的四个臂均为 220 Ω，Vs = 5 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 0.55 Ω。用小变化近似求输出 Vab，单位为 mV。

Vs = 5 VR = 220 ΩΔR = 0.55 Ω
Vab = mV
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−2.5 V120 Ω120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−0.25 mV

某构件（E = 70 GPa）上的应变片（GF = 2）接成 1/4 桥，激励电压为 2.5 V。输出读数为 0.25 mV。求轴向应力 σ，单位为 MPa。

Vs = 2.5 VGF = 2Vo = 0.25 mVE = 70 GPa
σ = MPa
3.数据采集与采样中等
Vin​N = 20VFSR​2ᴺ − 101 LSB

求 20 位 ADC 在满量程正弦波下的理想信号量化噪声比 SQNR。

N = 20
SQNR = dB
4.数据采集与采样困难
f0fs​/2fs​700 Hz5f₁?

一个 700 Hz 方波在没有抗混叠滤波器的情况下以 2 kHz 采样。方波含有奇次谐波 3f₁、5f₁、7f₁、…… 它的谐波 5f₁ 在采样数据中出现在哪个频率 fa？以 Hz 给出。

f₁ = 700 Hzfs = 2 kHz谐波: 5f₁
fa = Hz
5.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 22 kΩR1​ = 4.7 kΩVin​ = −1.8 V

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 求输出电压 Vout。

Vin = −1.8 VR1 = 4.7 kΩRf = 22 kΩ
Vout = V
6.运放电路困难
−+Vout​Rf​ = 1 kΩV1​ = −1 VR1​ = 1 kΩV2​ = −0.8 VR2​ = 10 kΩ

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。 求输出电压 Vout。

V1 = −1 VV2 = −0.8 VR1 = 1 kΩR2 = 10 kΩRf = 1 kΩ
Vout = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 5 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​6 ΩAR4​8 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 6 ΩR3 = 8 ΩR4 = 8 Ω
Req = Ω
8.串并联电阻困难
R1​ = 20 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAR4​3 ΩBR6​6 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 18 VR1 = 20 ΩR2 = 12 ΩR3 = 15 ΩR4 = 3 ΩR5 = 2 ΩR6 = 6 Ω
Req = Ω
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 10 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 9 VR1 = 10 ΩR2 = 6 ΩR3 = 8 Ω
IN = A
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 25 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAIs​5 ABRL​12 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 12 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 9 VIs = 5 AR1 = 25 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩRL = 12 Ω
IL = A

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: Vab = 3.125 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

相对变化

ΔR/R = 0.55/220 = 0.0025

线性化输出

Vab ≈ 5·0.0025/4 = 3.125 mV

答案

Vab = 3.125 mV

精确值为 3.121 mV；只要 ΔR/R 很小，这个近似就很好。

2.惠斯通电桥与应变片

答案: σ = 14 MPa

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

应变

ε = 4·0.00025/(2.5·2) = 0.0002

应力

σ = 70·10³ MPa·0.0002 = 14 MPa

答案

σ = 14 MPa
3.数据采集与采样

答案: SQNR = 122.2 dB

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

理想 SQNR

SQNR = 6.02·20 + 1.76 = 122.2 dB

答案

SQNR = 122.2 dB
4.数据采集与采样

答案: fa = 500 Hz

采样：ADC 每秒测量信号 fs 次。根据奈奎斯特–香农定理，只有当 f < fs/2（奈奎斯特频率，也称折叠频率）时，频率 f 才能被正确采集，因此采样率必须超过最高信号频率的两倍。更高的频率不会丢失：它会作为混叠出现在 fa = |f − k·fs|，其中整数 k 使结果落在 0 到 fs/2 之间。采样点无法区分二者，因此必须在 ADC 之前用模拟抗混叠滤波器滤除 fs/2 以上的全部成分。

谐波频率

5f₁ = 5·700 Hz = 3.5 kHz

最接近的采样率整数倍

m = round(1.75) = 2

混叠频率

fa = |3500 − 2·2000| = 500 Hz

答案

fa = 500 Hz

混叠落在信号频带内，任何数字滤波器都无法去除它。只有在 ADC 之前使用模拟滤波器才有帮助。

5.运放电路

答案: Vout = −10.23 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = −1.8 V
I = V₋/R1 = −1.8/4.7 = −0.383 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 Rf。

Vout = V₋ + I·Rf = −1.8 + (−0.383)·22 = −10.23 V

答案

Vout = −10.23 V
6.运放电路

答案: Vout = 1.08 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I1 = V1/R1 = −1/1 = −1 mA
I2 = V2/R2 = −0.8/10 = −0.08 mA
If = I1 + I2 = −1.08 mA

输出电压

Vout = −Rf·If = −1·(−1.08) = 1.08 V

答案

Vout = 1.08 V
7.串并联电阻

答案: Req = 9.364 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 5 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​6 ΩAR4​8 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 8 + 8 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 6·16/(6+16) = 4.364 Ω
Req = R1 + 4.364 = 5 + 4.364 = 9.364 Ω

答案

Req = 9.364 Ω
8.串并联电阻

答案: Req = 27.07 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 20 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAR4​3 ΩBR6​6 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 2 + 6 = 8 Ω
R4 ∥ 8 = 2.182 Ω
R3 + 2.182 = 17.18 Ω
R2 ∥ 17.18 = 7.065 Ω
Req = R1 + 7.065 = 20 + 7.065 = 27.07 Ω

答案

Req = 27.07 Ω
9.戴维南和诺顿

答案: IN = 0.2872 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 10 ΩR3​ = 8 Ω短路R2​6 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 10·6/(10+6) = 3.75 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.75 + 8 = 11.75 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·6/(10+6) = 3.375 V
IN​0.2872 ARth​11.75 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 3.375/11.75 = 0.2872 A
10.戴维南和诺顿

答案: IL = 1.479 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 25 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​2 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 25·2/(25+2) = 1.852 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.852 + 3 = 4.852 Ω
R1​ = 25 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 0.6667 + 5·1.852 = 9.926 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 9.926 + 5·3 = 24.93 V
Rth​ = 4.852 Ω+−Vth​24.93 VRL​12 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 24.93/(4.852 + 12) = 1.479 A

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