测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−12 V300 Ω300 Ω + ΔR300 Ω300 Ωab+−146.3 mV

某电桥的四个臂均为 300 Ω，由 12 V 供电。当传感器 R₂ 变化时，输出读数为 Vab = 146.3 mV。求 R₂ 的精确变化量 ΔR。

Vs = 12 VR = 300 ΩVab = 146.3 mV
ΔR = Ω
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−

一个 350 Ω、灵敏系数为 2 的应变片贴在钢棒上。受载时其电阻增大了 0.175 Ω。求应变 ε，单位为微应变（µε）。

R = 350 ΩGF = 2ΔR = 0.175 Ω
ε = µε
3.数据采集与采样中等
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​PTb​12·Tb​4800 Bd, 8E2

一条 UART 以 4800 波特、8E2 格式发送字节：8 个数据位、一个偶校验位和 2 个停止位，外加起始位。求它每秒最多能传输多少个数据字节。

baud = 4800 Bd8E2
RB = B/s
4.数据采集与采样困难
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​Tb​10·Tb​57600 Bd, 8N1

一个 16 位 ADC 通过 UART 以 57600 波特、8N1 格式（起始位、8 个数据位、1 个停止位）发送每个采样点。每个采样点以 2 个整字节发送，且链路一直处于忙碌状态。求能无混叠采样的最高信号频率 fmax，单位 Hz。

baud = 57600 BdN = 168N1
fmax = Hz
5.运放电路中等
−+Vout​R2​ = 10 kΩV1​ = 3 VR1​ = 2 kΩV2​ = 2.2 VR3​ = 2 kΩR4​ = 10 kΩ

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R3 = R1，R4 = R2。 求输出电压 Vout。

V1 = 3 VV2 = 2.2 VR1 = R3 = 2 kΩR2 = R4 = 10 kΩ
Vout = V
6.运放电路困难
−+Vout​Rf​ = 10 kΩV1​ = 1.1 VR1​ = 2 kΩV2​ = −1.9 VR2​ = 100 kΩIf​

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。 求流过反馈电阻、流向输出端的电流 If。

V1 = 1.1 VV2 = −1.9 VR1 = 2 kΩR2 = 100 kΩRf = 10 kΩ
If = mA
7.串并联电阻中等
R1​ = 10 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAR4​3 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 8 ΩR3 = 5 ΩR4 = 3 Ω
Req = Ω
8.串并联电阻困难
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 12 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩAR4​6 ΩBR6​4 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 24 VR1 = 15 ΩR2 = 15 ΩR3 = 12 ΩR4 = 6 ΩR5 = 8 ΩR6 = 4 Ω
IR1 = A
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 20 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩARL​2 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 2 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 12 VR1 = 20 ΩR2 = 2 ΩR3 = 4 ΩRL = 2 Ω
IL = A
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAIs​3 ABRL​30 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 30 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 15 VIs = 3 AR1 = 2 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 ΩRL = 30 Ω
IL = A

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: ΔR = 15 Ω

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

节点电压

Va = 6 + 0.1463 = 6.146 V

解分压公式

R₂ = 300·6.146/(12 − 6.146) = 315 Ω
ΔR = 315 − 300 = 15 Ω

答案

ΔR = 15 Ω
2.惠斯通电桥与应变片

答案: ε = 250 µε

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 0.175/350 = 0.0005

应变

ε = 0.0005/2 = 0.00025 = 250 µε

答案

ε = 250 µε
3.数据采集与采样

答案: RB = 400 B/s

UART：异步串行链路把每个字节作为一帧发送：一个起始位（低电平）、若干数据位、一个可选的校验位以及一个或两个停止位（高电平）。波特率是每秒的位数，所以一位持续 Tb = 1/波特率，n 位的一帧持续 n/波特率。常见的 8N1 格式每个字节占 10 位。波特率发生器对时钟分频：波特率 = fclk/(16·D)，其中 D 为整数，因此实际波特率与目标值略有差别；误差在约 2 % 以内通常可以接受。

每帧位数

1 + 8 + 1 + 2 = 12

字节速率

4800/12 = 400 B/s

答案

RB = 400 B/s
4.数据采集与采样

答案: fmax = 1440 Hz

UART：异步串行链路把每个字节作为一帧发送：一个起始位（低电平）、若干数据位、一个可选的校验位以及一个或两个停止位（高电平）。波特率是每秒的位数，所以一位持续 Tb = 1/波特率，n 位的一帧持续 n/波特率。常见的 8N1 格式每个字节占 10 位。波特率发生器对时钟分频：波特率 = fclk/(16·D)，其中 D 为整数，因此实际波特率与目标值略有差别；误差在约 2 % 以内通常可以接受。

线路上每个采样点的位数

2·10 = 20 bit

最高采样率

fs,max = 57600/20 = 2880 Hz

奈奎斯特极限

fmax = 2880/2 = 1440 Hz

答案

fmax = 1440 Hz
5.运放电路

答案: Vout = −4 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 2.2·10/(2 + 10) = 1.833 V
V₋ = V₊

反相输入端的 KCL

(3 − 1.833)/2 = (1.833 − Vout)/10
Vout = (R2/R1)·(V2 − V1) = (10/2)·(2.2 − 3) = −4 V

答案

Vout = −4 V
6.运放电路

答案: If = 0.531 mA

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I1 = V1/R1 = 1.1/2 = 0.55 mA
I2 = V2/R2 = −1.9/100 = −0.019 mA
If = I1 + I2 = 0.531 mA

答案

If = 0.531 mA
7.串并联电阻

答案: Req = 14 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 10 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAR4​3 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 5 + 3 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 8·8/(8+8) = 4 Ω
Req = R1 + 4 = 10 + 4 = 14 Ω

答案

Req = 14 Ω
8.串并联电阻

答案: IR1 = 1.055 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 15 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩAR4​6 ΩBR6​4 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 8 + 4 = 12 Ω
R4 ∥ 12 = 4 Ω
R3 + 4 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 7.742 Ω
Req = R1 + 7.742 = 15 + 7.742 = 22.74 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 24/22.74 = 1.055 A

答案

IR1 = 1.055 A
9.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.1395 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 20 ΩR3​ = 4 Ω短路R2​2 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 20·2/(20+2) = 1.818 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.818 + 4 = 5.818 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·2/(20+2) = 1.091 V
Rth​ = 5.818 Ω+−Vth​1.091 VRL​2 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 1.091/(5.818 + 2) = 0.1395 A
10.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.7457 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​8 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·8/(2+8) = 1.6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.6 + 3 = 4.6 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAIs​3 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 12 + 3·1.6 = 16.8 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 16.8 + 3·3 = 25.8 V
Rth​ = 4.6 Ω+−Vth​25.8 VRL​30 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 25.8/(4.6 + 30) = 0.7457 A

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