测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−15 V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−Vab​ = ?

某电桥的四个臂均为 350 Ω，Vs = 15 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 1.75 Ω。用小变化近似求输出 Vab，单位为 mV。

Vs = 15 VR = 350 ΩΔR = 1.75 Ω
Vab = mV
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−2.5 V120 Ω − ΔR120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−Vo​ = ?

某电桥的各臂为 120 Ω，激励电压为 2.5 V，采用 相邻臂上的两个工作应变片，一个受拉、一个受压（半桥）。灵敏系数为 2.05，应变为 1200 µε。求电桥输出 Vo，单位为 mV。

Vs = 2.5 VGF = 2.05ε = 1200 µε
Vo = mV
3.数据采集与采样中等
Vin​N = ?3.3 V2ᴺ − 10≤ 0.5 mV

一个输入量程为 0 到 3.3 V 的 ADC 必须分辨 0.5 mV 或更小的台阶。求最小位数 N。

VFSR = 3.3 V分辨率 = 0.5 mV
N =
4.数据采集与采样困难
Vin​N = ?VFSR​2ᴺ − 101 LSB

一项音频测量要求满量程正弦波的理想信号量化噪声比至少为 55 dB。求 ADC 的最小位数 N。

SQNR ≥ 55 dB
N =
5.运放电路中等
−+Vout​R2​ = 4.7 kΩV1​ = 0.2 VR1​ = 2 kΩV2​ = 1.9 VR3​ = 2 kΩR4​ = 4.7 kΩ

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R3 = R1，R4 = R2。 求反相输入端的电压 V−。

V1 = 0.2 VV2 = 1.9 VR1 = R3 = 2 kΩR2 = R4 = 4.7 kΩ
V− = V
6.运放电路困难
−+Vout​R2​ = 10 kΩV1​ = 1.1 VR1​ = 47 kΩV2​ = 0.6 VR3​ = 2 kΩR4​ = 10 kΩ

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 电阻比不匹配。求输出电压 Vout。

V1 = 1.1 VV2 = 0.6 VR1 = 47 kΩR2 = 10 kΩR3 = 2 kΩR4 = 10 kΩ
Vout = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩIR2​AR4​5 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 18 VR1 = 5 ΩR2 = 15 ΩR3 = 6 ΩR4 = 5 Ω
IR2 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 20 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩIR2​AR4​8 ΩBR6​2 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 24 VR1 = 20 ΩR2 = 10 ΩR3 = 4 ΩR4 = 8 ΩR5 = 30 ΩR6 = 2 Ω
IR2 = A
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 15 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​8 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 6 VR1 = 15 ΩR2 = 8 ΩR3 = 10 Ω
Rth = Ω
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 15 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​30 ΩAIs​1 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 9 VIs = 1 AR1 = 15 ΩR2 = 30 ΩR3 = 12 Ω
IN = A

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: Vab = 18.75 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

相对变化

ΔR/R = 1.75/350 = 0.005

线性化输出

Vab ≈ 15·0.005/4 = 18.75 mV

答案

Vab = 18.75 mV

精确值为 18.7 mV；只要 ΔR/R 很小，这个近似就很好。

2.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 3.075 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 2.05·1200·10⁻⁶ = 0.00246

电桥输出

Vo = Vs·GF·ε/2 = 2.5·0.00246/2 = 3.075 mV

答案

Vo = 3.075 mV
3.数据采集与采样

答案: N = 13

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

所需台阶数

3300 mV/0.5 mV = 6600

位数

log₂(6600) = 12.69
212 = 4096 < 6600 ≤ 213 = 8192
N = 13

答案

N = 13
4.数据采集与采样

答案: N = 9

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

解出 N

N ≥ (55 − 1.76)/6.02 = 8.844

向上取整

N = 9
校核: 6.02·9 + 1.76 = 55.94 dB ≥ 55 dB

答案

N = 9
5.运放电路

答案: V− = 1.333 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 1.9·4.7/(2 + 4.7) = 1.333 V
V₋ = V₊

答案

V− = 1.333 V
6.运放电路

答案: Vout = 0.3723 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 0.6·10/(2 + 10) = 0.5 V

叠加两个输入

V₂ = 0 时，V₁ 看到的是反相放大器。V₁ = 0 时，V₊ 被同相增益 1 + R₂/R₁ 放大。

Vout = −(10/47)·1.1 + (1 + 10/47)·0.5 = −0.234 + 0.6064 = 0.3723 V

答案

Vout = 0.3723 V
7.串并联电阻

答案: IR2 = 0.6712 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAR4​5 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 6 + 5 = 11 Ω
R2 ∥ 11 = 15·11/(15+11) = 6.346 Ω
Req = R1 + 6.346 = 5 + 6.346 = 11.35 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 18/11.35 = 1.586 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 1.586·5 = 10.07 V
IR2 = VA/R2 = 10.07/15 = 0.6712 A

答案

IR2 = 0.6712 A
8.串并联电阻

答案: IR2 = 0.4875 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 20 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩAR4​8 ΩBR6​2 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 30 + 2 = 32 Ω
R4 ∥ 32 = 6.4 Ω
R3 + 6.4 = 10.4 Ω
R2 ∥ 10.4 = 5.098 Ω
Req = R1 + 5.098 = 20 + 5.098 = 25.1 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 24/25.1 = 0.9563 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 0.9563·20 = 4.875 V
IR2 = VA/R2 = 4.875/10 = 0.4875 A

答案

IR2 = 0.4875 A
9.戴维南和诺顿

答案: Rth = 15.22 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 15 ΩR3​ = 10 Ω短路R2​8 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 15·8/(15+8) = 5.217 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5.217 + 10 = 15.22 Ω
10.戴维南和诺顿

答案: IN = −0.7273 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 15 ΩR3​ = 12 Ω短路R2​30 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 15·30/(15+30) = 10 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 10 + 12 = 22 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​30 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 6 + (−1)·10 = −4 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −4 + (−1)·12 = −16 V
IN​0.7273 ARth​22 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = −16/22 = −0.7273 A

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