测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−2 V150 Ω150 Ω150 Ω150 Ωab+−

一个 150 Ω 的应变片是电桥的一个臂（R₂），电桥四个臂均为 150 Ω，激励电压为 2 V。求应变片上消耗的功率 Pg，单位为 mW。自热限制了激励电压。

Vs = 2 VR = 150 Ω
Pg = mW
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−3 V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−1.125 mV

某构件（E = 200 GPa）上的应变片（GF = 2）接成 1/4 桥，激励电压为 3 V。输出读数为 1.125 mV。求轴向应力 σ，单位为 MPa。

Vs = 3 VGF = 2Vo = 1.125 mVE = 200 GPa
σ = MPa
3.数据采集与采样中等
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​Tb​10·Tb​2400 Bd, 8N1

一条 UART 以 2400 波特、8N1 格式发送字节：8 个数据位、无校验和 1 个停止位，外加起始位。求它每秒最多能传输多少个数据字节。

baud = 2400 Bd8N1
RB = B/s
4.数据采集与采样困难
Vin​N = ?VFSR​2ᴺ − 101 LSB

一项音频测量要求满量程正弦波的理想信号量化噪声比至少为 65 dB。求 ADC 的最小位数 N。

SQNR ≥ 65 dB
N =
5.运放电路中等
−+Vout​R2​ = 2 kΩV1​ = 2.7 VR1​ = 4.7 kΩV2​ = 1 VR3​ = 4.7 kΩR4​ = 2 kΩ

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R3 = R1，R4 = R2。 求反相输入端的电压 V−。

V1 = 2.7 VV2 = 1 VR1 = R3 = 4.7 kΩR2 = R4 = 2 kΩ
V− = V
6.运放电路困难
Vin​V1​Vout​第 1 级：反相R1​ = 47 kΩRf1​ = 47 kΩ第 2 级：同相R2​ = 2 kΩRf2​ = 10 kΩ

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R1，Rf1），后接一个同相放大器（R2 接地，Rf2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。 输入为 Vin = 0.3 V。求输出电压 Vout。

R1 = 47 kΩRf1 = 47 kΩR2 = 2 kΩRf2 = 10 kΩVin = 0.3 V
Vout = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 4 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAR4​8 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 10 VR1 = 4 ΩR2 = 20 ΩR3 = 6 ΩR4 = 8 Ω
Req = Ω
8.串并联电阻困难
R1​ = 10 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​15 VR2​30 ΩAR4​15 ΩBR6​4 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 30 ΩR3 = 25 ΩR4 = 15 ΩR5 = 12 ΩR6 = 4 Ω
Req = Ω
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 2 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩARL​15 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 15 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 6 VR1 = 2 ΩR2 = 4 ΩR3 = 6 ΩRL = 15 Ω
IL = A
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 8 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAIs​4 ABRL​4 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 4 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 10 VIs = 4 AR1 = 8 ΩR2 = 12 ΩR3 = 15 ΩRL = 4 Ω
IL = A

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: Pg = 6.667 mW

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

应变片两端的电压

V = 2/2 = 1 V

功率

Pg = 1²/150 = 6.667 mW

答案

Pg = 6.667 mW
2.惠斯通电桥与应变片

答案: σ = 150 MPa

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

应变

ε = 4·0.001125/(3·2) = 0.00075

应力

σ = 200·10³ MPa·0.00075 = 150 MPa

答案

σ = 150 MPa
3.数据采集与采样

答案: RB = 240 B/s

UART：异步串行链路把每个字节作为一帧发送：一个起始位（低电平）、若干数据位、一个可选的校验位以及一个或两个停止位（高电平）。波特率是每秒的位数，所以一位持续 Tb = 1/波特率，n 位的一帧持续 n/波特率。常见的 8N1 格式每个字节占 10 位。波特率发生器对时钟分频：波特率 = fclk/(16·D)，其中 D 为整数，因此实际波特率与目标值略有差别；误差在约 2 % 以内通常可以接受。

每帧位数

1 + 8 + 0 + 1 = 10

字节速率

2400/10 = 240 B/s

答案

RB = 240 B/s
4.数据采集与采样

答案: N = 11

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

解出 N

N ≥ (65 − 1.76)/6.02 = 10.5

向上取整

N = 11
校核: 6.02·11 + 1.76 = 67.98 dB ≥ 65 dB

答案

N = 11
5.运放电路

答案: V− = 0.2985 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 1·2/(4.7 + 2) = 0.2985 V
V₋ = V₊

答案

V− = 0.2985 V
6.运放电路

答案: Vout = −1.8 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

各级的增益

A1 = −Rf1/R1 = −47/47 = −1
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 10/2 = 6

逐级计算

V1 = −1·0.3 = −0.3 V
Vout = 6·(−0.3) = −1.8 V

答案

Vout = −1.8 V
7.串并联电阻

答案: Req = 12.24 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 4 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAR4​8 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 6 + 8 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 20·14/(20+14) = 8.235 Ω
Req = R1 + 8.235 = 4 + 8.235 = 12.24 Ω

答案

Req = 12.24 Ω
8.串并联电阻

答案: Req = 25.66 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 10 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​15 VR2​30 ΩAR4​15 ΩBR6​4 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 12 + 4 = 16 Ω
R4 ∥ 16 = 7.742 Ω
R3 + 7.742 = 32.74 Ω
R2 ∥ 32.74 = 15.66 Ω
Req = R1 + 15.66 = 10 + 15.66 = 25.66 Ω

答案

Req = 25.66 Ω
9.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.1791 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 6 Ω短路R2​4 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·4/(2+4) = 1.333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.333 + 6 = 7.333 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·4/(2+4) = 4 V
Rth​ = 7.333 Ω+−Vth​4 VRL​15 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 4/(7.333 + 15) = 0.1791 A
10.戴维南和诺顿

答案: IL = 3.58 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 15 Ω短路R2​12 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·12/(8+12) = 4.8 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4.8 + 15 = 19.8 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 6 + 4·4.8 = 25.2 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 25.2 + 4·15 = 85.2 V
Rth​ = 19.8 Ω+−Vth​85.2 VRL​4 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 85.2/(19.8 + 4) = 3.58 A

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