测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−9 V100 Ω100 Ω + ΔR100 Ω100 Ωab+−Vab​ = ?

某电桥的四个臂均为 100 Ω，Vs = 9 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 8 Ω。求精确输出 Vab，单位为 mV。

Vs = 9 VR = 100 ΩΔR = 8 Ω
Vab = mV
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−5 V350 Ω − ΔR350 Ω + ΔR350 Ω + ΔR350 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

某电桥的各臂为 350 Ω，激励电压为 5 V，采用 四个工作应变片，两个受拉、两个受压（全桥）。灵敏系数为 2.12，应变为 200 µε。求电桥输出 Vo，单位为 mV。

Vs = 5 VGF = 2.12ε = 200 µε
Vo = mV
3.数据采集与采样中等
Vin​N = 10VFSR​2ᴺ − 101 LSB

求 10 位 ADC 在满量程正弦波下的理想信号量化噪声比 SQNR。

N = 10
SQNR = dB
4.数据采集与采样困难
T20 mV/°C×10∿01N = 10, 3.3 V? °C/LSB

一个温度传感器给出 20 mV/°C（0 °C 时为 0 V）。其信号被放大 10 倍后送入量程为 0 到 3.3 V 的 10 位 ADC（1 LSB = VFSR/2ᴺ）。求对应一个 LSB 的温度变化 ΔTLSB。

S = 20 mV/°CG = 10N = 10VFSR = 3.3 V
ΔTLSB = °C
5.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = ?R1​ = 22 kΩVin​

选择反馈电阻 Rf，使该同相放大器的电压增益为 8。

R1 = 22 kΩAv = 8
Rf = kΩ
6.运放电路困难
−+Vout​Rf​ = 22 kΩV1​ = 1.4 VR1​ = 22 kΩV2​ = 1 VR2​ = 47 kΩ

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。 求输出电压 Vout。

V1 = 1.4 VV2 = 1 VR1 = 22 kΩR2 = 47 kΩRf = 22 kΩ
Vout = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 10 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​18 VR2​10 ΩIR2​AR4​8 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 18 VR1 = 10 ΩR2 = 10 ΩR3 = 20 ΩR4 = 8 Ω
IR2 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 5 ΩIR1​R3​ = 3 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​4 ΩAR4​12 ΩBR6​3 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 4 ΩR3 = 3 ΩR4 = 12 ΩR5 = 8 ΩR6 = 3 Ω
IR1 = A
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 10 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​5 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 18 VR1 = 10 ΩR2 = 5 ΩR3 = 6 Ω
Rth = Ω
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 8 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​4 ΩAIs​6 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 15 VIs = 6 AR1 = 8 ΩR2 = 4 ΩR3 = 15 Ω
IN = A

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: Vab = 173.1 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

节点电压

Va = 9·108/208 = 4.673 V
Vb = 4.5 V

出量

Vab = 173.1 mV

答案

Vab = 173.1 mV

线性估计 Vs·ΔR/(4R) = 180 mV 偏高 4 %：1/4 桥并不完全是线性的。

2.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 2.12 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 2.12·200·10⁻⁶ = 0.000424

电桥输出

Vo = Vs·GF·ε = 5·0.000424 = 2.12 mV

答案

Vo = 2.12 mV
3.数据采集与采样

答案: SQNR = 61.96 dB

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

理想 SQNR

SQNR = 6.02·10 + 1.76 = 61.96 dB

答案

SQNR = 61.96 dB
4.数据采集与采样

答案: ΔTLSB = 0.01611 °C

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

步长

1 LSB = 3300/1024 = 3.223 mV

ADC 处的灵敏度

20·10 = 200 mV/°C

温度分辨率

ΔTLSB = 3.223/200 = 0.01611 °C

答案

ΔTLSB = 0.01611 °C

ADC 在 16.5 °C 时达到满量程。

5.运放电路

答案: Rf = 154 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = Vin，且流过 R₁ 的电流也流过 Rf，所以 Vout = Vin·(1 + Rf/R₁)。

Av = 1 + Rf/R1
Rf = (8 − 1)·22 = 154 kΩ

答案

Rf = 154 kΩ
6.运放电路

答案: Vout = −1.868 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I1 = V1/R1 = 1.4/22 = 0.06364 mA
I2 = V2/R2 = 1/47 = 0.02128 mA
If = I1 + I2 = 0.08491 mA

输出电压

Vout = −Rf·If = −22·0.08491 = −1.868 V

答案

Vout = −1.868 V
7.串并联电阻

答案: IR2 = 0.7636 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 10 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​18 VR2​10 ΩAR4​8 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 20 + 8 = 28 Ω
R2 ∥ 28 = 10·28/(10+28) = 7.368 Ω
Req = R1 + 7.368 = 10 + 7.368 = 17.37 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 18/17.37 = 1.036 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 1.036·10 = 7.636 V
IR2 = VA/R2 = 7.636/10 = 0.7636 A

答案

IR2 = 0.7636 A
8.串并联电阻

答案: IR1 = 3.099 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 5 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​4 ΩAR4​12 ΩBR6​3 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 8 + 3 = 11 Ω
R4 ∥ 11 = 5.739 Ω
R3 + 5.739 = 8.739 Ω
R2 ∥ 8.739 = 2.744 Ω
Req = R1 + 2.744 = 5 + 2.744 = 7.744 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 24/7.744 = 3.099 A

答案

IR1 = 3.099 A
9.戴维南和诺顿

答案: Rth = 9.333 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 10 ΩR3​ = 6 Ω短路R2​5 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 10·5/(10+5) = 3.333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.333 + 6 = 9.333 Ω
10.戴维南和诺顿

答案: IN = 6.283 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 15 Ω短路R2​4 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·4/(8+4) = 2.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.667 + 15 = 17.67 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​4 ΩAIs​6 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 5 + 6·2.667 = 21 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 21 + 6·15 = 111 V
IN​6.283 ARth​17.67 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 111/17.67 = 6.283 A

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