测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
出量: V_ab = V_a − V_b
平衡: R₁/R₂ = R₃/R₄
滑线电桥: R/R_x = l/(100 − l)
戴维南电阻: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
灵敏系数: ΔR/R = GF·ε
电桥输出: 1/4 桥 V_s·GF·ε/4，半桥 V_s·GF·ε/2，全桥 V_s·GF·ε
小变化，一个臂: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
应力: σ = E·ε

方法

把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
对不平衡电桥，由分压器求出 V_a 和 V_b 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 V_s·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
混叠频率: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
步长: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）: ±½ LSB
截断式 ADC 码值: D = ⌊V_in/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数: 2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波: SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率: 通道数 × f_s × N 比特/秒
多路复用 ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器: baud = f_clk/(16·D)

方法

先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
采样类题目，把每个频率与 f_s/2 比较；更高的频率会出现在 f_a = |f − k·f_s|，其中取最接近的 f_s 整数倍。
分辨率类题目，求 1 LSB = V_FSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率的最小 N。
数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等

某电桥的四个臂均为 100 Ω，由 2 V 供电。当传感器 R₂ 变化时，输出读数为 V_ab = 4.98 mV。求 R₂ 的精确变化量 ΔR。

V_s = 2 VR = 100 ΩV_ab = 4.98 mV

ΔR = Ω

2.惠斯通电桥与应变片困难

某 1/4 桥有一个工作应变片（GF = 2），激励电压为 2.5 V。受载时输出读数为 0.75 mV。求应变 ε，单位为 µε。

V_s = 2.5 VGF = 2V_o = 0.75 mV

ε = µε

3.数据采集与采样中等

求 24 位 ADC 在满量程正弦波下的理想信号量化噪声比 SQNR。

N = 24

SQNR = dB

4.数据采集与采样困难

一个 24 位 ADC 通过 UART 以 460800 波特、8N1 格式（起始位、8 个数据位、1 个停止位）发送每个采样点。每个采样点以 3 个整字节发送，且链路一直处于忙碌状态。求能无混叠采样的最高信号频率 f_max，单位 Hz。

baud = 460800 BdN = 248N1

f_max = Hz

5.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源；其输出饱和电压为 ±12 V。反相放大器由正弦波驱动。求输出不削波时的最大输入幅值 V_in,max（峰值）。

R₁ = 2 kΩR_f = 4.7 kΩV_sat = ±12 V

V_in,max = V

6.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±13 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = −2.1 V 时，电容未充电。求 t = 5 ms 时的输出电压 V_out。

V_in = −2.1 VR = 22 kΩC = 0.1 µFV_sat = ±13 Vt = 5 ms

V_out = V

7.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

8.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 Ω

V_th = V

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 5 VI_s = 2.5 AR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 Ω

V_th = V

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: ΔR = 1.001 Ω

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 V_s。左侧分压器 R₁–R₂ 给出 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)，右侧分压器 R₃–R₄ 给出 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)；输出为 V_ab = V_a − V_b。当 R₁/R₂ = R₃/R₄，即 R₁·R₄ = R₂·R₃ 时，电桥平衡（V_ab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄。

节点电压

V_a = 1 + 0.00498 = 1.005 V

解分压公式

R₂ = 100·1.005/(2 − 1.005) = 101 Ω

ΔR = 101 − 100 = 1.001 Ω

答案

ΔR = 1.001 Ω

2.惠斯通电桥与应变片

答案: ε = 600 µε

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 V_o ≈ V_s·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 V_s·GF·ε/2，四个（全桥）给出 V_s·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

解 1/4 桥方程

ε = 4·0.00075/(2.5·2) = 0.0006

以微应变表示

ε = 600 µε

答案

ε = 600 µε

3.数据采集与采样

答案: SQNR = 146.2 dB

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 V_FSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = V_FSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊V_in/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

理想 SQNR

SQNR = 6.02·24 + 1.76 = 146.2 dB

答案

SQNR = 146.2 dB

4.数据采集与采样

答案: f_max = 7680 Hz

UART：异步串行链路把每个字节作为一帧发送：一个起始位（低电平）、若干数据位、一个可选的校验位以及一个或两个停止位（高电平）。波特率是每秒的位数，所以一位持续 T_b = 1/波特率，n 位的一帧持续 n/波特率。常见的 8N1 格式每个字节占 10 位。波特率发生器对时钟分频：波特率 = f_clk/(16·D)，其中 D 为整数，因此实际波特率与目标值略有差别；误差在约 2 % 以内通常可以接受。

线路上每个采样点的位数

3·10 = 30 bit

最高采样率

f_s,max = 460800/30 = 15360 Hz

奈奎斯特极限

f_max = 15360/2 = 7680 Hz

答案

f_max = 7680 Hz

5.运放电路

答案: V_in,max = 5.106 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

增益

|A_v| = R_f/R₁ = 4.7/2 = 2.35

削波前的最大输入

V_in,max = V_sat/|A_v| = 12/2.35 = 5.106 V

答案

V_in,max = 5.106 V

6.运放电路

答案: V_out = 4.773 V

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 22 kΩ · 0.1 µF = 2.2 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −(−2.1)/2.2 = 0.9545 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±V_sat 以内，所以积分器尚未限幅。

V_out = −V_in·t/(RC) = −(−2.1)·5/2.2 = 4.773 V

答案

V_out = 4.773 V

7.串并联电阻

答案: I_R2 = 1.565 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 15 + 3 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 12·18/(12+18) = 7.2 Ω

R_eq = R₁ + 7.2 = 2 + 7.2 = 9.2 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 24/9.2 = 2.609 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 2.609·2 = 18.78 V

I_R2 = V_A/R₂ = 18.78/12 = 1.565 A

答案

I_R2 = 1.565 A

8.串并联电阻

答案: R_eq = 23.98 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 12 + 5 = 17 Ω

R₄ ∥ 17 = 3.864 Ω

R₃ + 3.864 = 11.86 Ω

R₂ ∥ 11.86 = 3.985 Ω

R_eq = R₁ + 3.985 = 20 + 3.985 = 23.98 Ω

答案

R_eq = 23.98 Ω

9.戴维南和诺顿

答案: V_th = 2 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 20·4/(20+4) = 3.333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.333 + 2 = 5.333 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·4/(20+4) = 2 V

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 29.29 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 6·15/(6+15) = 4.286 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.286 + 6 = 10.29 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3.571 + 2.5·4.286 = 14.29 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 14.29 + 2.5·6 = 29.29 V

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测量与仪器仪表：速成包

1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

方法

数据采集与采样

方法

运放电路

串并联电阻

方法

戴维南和诺顿

方法

2练习题

3溶液

节点电压

解分压公式

答案

解 1/4 桥方程

以微应变表示

答案

理想 SQNR

答案

线路上每个采样点的位数

最高采样率

奈奎斯特极限

答案

增益

削波前的最大输入

答案

输入电流和斜坡速率

给定时刻的输出

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th