测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−15 VR1​ = 400 ΩR2​ = 1000 ΩR3​ = 40 ΩR4​ = 400 ΩabGRg​ = 100 Ω

一个电阻为 100 Ω 的检流计接在图示电桥的 a 和 b 之间（Vs = 15 V）。求从 a 流向 b 的检流计电流 Ig，单位为 µA。

Vs = 15 VR1 = 400 ΩR2 = 1000 ΩR3 = 40 ΩR4 = 400 ΩRg = 100 Ω
Ig = µA
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−5 V350 Ω − ΔR350 Ω + ΔR350 Ω + ΔR350 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

某电桥的各臂为 350 Ω，激励电压为 5 V，采用 四个工作应变片，两个受拉、两个受压（全桥）。灵敏系数为 2.1，应变为 1500 µε。求电桥输出 Vo，单位为 mV。

Vs = 5 VGF = 2.1ε = 1500 µε
Vo = mV
3.数据采集与采样中等
124⋮4 ch∿01N = 241 kHz? MB

一台记录仪用 24 位 ADC 对 4 个通道各以 1 kHz 采样。每个采样点以整数个字节存储。求 60 min 记录所需的内存 M，单位 MB（1 MB = 10⁶ 字节）。

n = 4fs = 1 kHzN = 24t = 60 min
M = MB
4.数据采集与采样困难
f0fs​/2fs​1.1 kHz7f₁?

一个 1.1 kHz 方波在没有抗混叠滤波器的情况下以 5 kHz 采样。方波含有奇次谐波 3f₁、5f₁、7f₁、…… 它的谐波 7f₁ 在采样数据中出现在哪个频率 fa？以 Hz 给出。

f₁ = 1.1 kHzfs = 5 kHz谐波: 7f₁
fa = Hz
5.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 2 kΩR1​ = 1 kΩVin​ = 0.8 V

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 求输出电压 Vout。

Vin = 0.8 VR1 = 1 kΩRf = 2 kΩ
Vout = V
6.运放电路困难
Vin​V1​Vout​第 1 级：反相R1​ = 4.7 kΩRf1​ = 10 kΩ第 2 级：同相R2​ = 10 kΩRf2​ = 2 kΩ

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R1，Rf1），后接一个同相放大器（R2 接地，Rf2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。 输入为 Vin = −0.7 V。求输出电压 Vout。

R1 = 4.7 kΩRf1 = 10 kΩR2 = 10 kΩRf2 = 2 kΩVin = −0.7 V
Vout = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 6 ΩIR1​R3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAR4​2 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 15 VR1 = 6 ΩR2 = 20 ΩR3 = 20 ΩR4 = 2 Ω
IR1 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 25 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​6 ΩIR2​AR4​12 ΩBR6​30 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 24 VR1 = 25 ΩR2 = 6 ΩR3 = 20 ΩR4 = 12 ΩR5 = 3 ΩR6 = 30 Ω
IR2 = A
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​24 VR2​2 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 24 VR1 = 6 ΩR2 = 2 ΩR3 = 10 Ω
IN = A
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 20 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩAIs​6 ABRL​3 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 3 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 9 VIs = 6 AR1 = 20 ΩR2 = 3 ΩR3 = 5 ΩRL = 3 Ω
PL = W

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: Ig = −6923 µA

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

戴维南电压

Vth = 15·(1000/1400 − 400/440) = −2.922 V

戴维南电阻

Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 322.1 Ω

检流计电流

Ig = −2.922/(322.1 + 100) = −6923 µA

答案

Ig = −6923 µA
2.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 15.75 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 2.1·1500·10⁻⁶ = 0.00315

电桥输出

Vo = Vs·GF·ε = 5·0.00315 = 15.75 mV

答案

Vo = 15.75 mV
3.数据采集与采样

答案: M = 43.2 MB

数据速率：每个通道每秒提供 fs 个 N 位的采样，因此原始速率为 通道数 × fs × N bit/s。在内存中一个采样占用整数个字节（12 位采样存为 2 个字节），因此一段记录的内存为 通道数 × fs × 每个采样的字节数 × 时间。多路复用 ADC 依次转换各通道：每次转换（含建立时间）需要 t，所以 n 个通道转一轮需要 n·t，每个通道的采样频率为 1/(n·t)。

每个采样的字节数

⌈24/8⌉ = 3 B

字节速率

4·1000·3 = 12000 B/s

内存

M = 12000·3600 = 4.32 × 10⁷ B = 43.2 MB

答案

M = 43.2 MB
4.数据采集与采样

答案: fa = 2300 Hz

采样：ADC 每秒测量信号 fs 次。根据奈奎斯特–香农定理，只有当 f < fs/2（奈奎斯特频率，也称折叠频率）时，频率 f 才能被正确采集，因此采样率必须超过最高信号频率的两倍。更高的频率不会丢失：它会作为混叠出现在 fa = |f − k·fs|，其中整数 k 使结果落在 0 到 fs/2 之间。采样点无法区分二者，因此必须在 ADC 之前用模拟抗混叠滤波器滤除 fs/2 以上的全部成分。

谐波频率

7f₁ = 7·1.1 kHz = 7.7 kHz

最接近的采样率整数倍

m = round(1.54) = 2

混叠频率

fa = |7700 − 2·5000| = 2300 Hz

答案

fa = 2300 Hz

混叠落在信号频带内，任何数字滤波器都无法去除它。只有在 ADC 之前使用模拟滤波器才有帮助。

5.运放电路

答案: Vout = 2.4 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = 0.8 V
I = V₋/R1 = 0.8/1 = 0.8 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 Rf。

Vout = V₋ + I·Rf = 0.8 + 0.8·2 = 2.4 V

答案

Vout = 2.4 V
6.运放电路

答案: Vout = 1.787 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

各级的增益

A1 = −Rf1/R1 = −10/4.7 = −2.128
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 2/10 = 1.2

逐级计算

V1 = −2.128·(−0.7) = 1.489 V
Vout = 1.2·1.489 = 1.787 V

答案

Vout = 1.787 V
7.串并联电阻

答案: IR1 = 0.9104 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 6 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAR4​2 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 20 + 2 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 20·22/(20+22) = 10.48 Ω
Req = R1 + 10.48 = 6 + 10.48 = 16.48 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 15/16.48 = 0.9104 A

答案

IR1 = 0.9104 A
8.串并联电阻

答案: IR2 = 0.6628 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 25 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​6 ΩAR4​12 ΩBR6​30 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 3 + 30 = 33 Ω
R4 ∥ 33 = 8.8 Ω
R3 + 8.8 = 28.8 Ω
R2 ∥ 28.8 = 4.966 Ω
Req = R1 + 4.966 = 25 + 4.966 = 29.97 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 24/29.97 = 0.8009 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 0.8009·25 = 3.977 V
IR2 = VA/R2 = 3.977/6 = 0.6628 A

答案

IR2 = 0.6628 A
9.戴维南和诺顿

答案: IN = 0.5217 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω短路R2​2 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 6·2/(6+2) = 1.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.5 + 10 = 11.5 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​24 VR2​2 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·2/(6+2) = 6 V
IN​0.5217 ARth​11.5 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 6/11.5 = 0.5217 A
10.戴维南和诺顿

答案: PL = 58.45 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 20 ΩR3​ = 5 Ω短路R2​3 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 20·3/(20+3) = 2.609 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.609 + 5 = 7.609 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩAIs​6 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1.174 + 6·2.609 = 16.83 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 16.83 + 6·5 = 46.83 V
Rth​ = 7.609 Ω+−Vth​46.83 VRL​3 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 46.83/(7.609 + 3) = 4.414 A
PL = IL²·RL = 4.414²·3 = 58.45 W

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