测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−15 VR1​ = 10 ΩR2​ = 500 ΩR3​ = 800 ΩR4​ = 400 Ωab+−Rth​ = ?

求图示电桥从输出端 a、b 看进去的戴维南电阻 Rth。

Vs = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 500 ΩR3 = 800 ΩR4 = 400 Ω
Rth = Ω
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−3 V120 Ω − ΔR120 Ω + ΔR120 Ω + ΔR120 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

某电桥的各臂为 120 Ω，激励电压为 3 V，采用 四个工作应变片，两个受拉、两个受压（全桥）。灵敏系数为 2，应变为 500 µε。求电桥输出 Vo，单位为 mV。

Vs = 3 VGF = 2ε = 500 µε
Vo = mV
3.数据采集与采样中等
tTs​ = 1/fs​f = 11.5 kHzfs​ = 10 kHz

一个 11.5 kHz 的正弦波在没有抗混叠滤波器的情况下以 10 kHz 采样。它在采样中出现在哪个频率 fa？以 kHz 给出。

f = 11.5 kHzfs = 10 kHz
fa = kHz
4.数据采集与采样困难
Vin​N = ?VFSR​2ᴺ − 101 LSB

一项音频测量要求满量程正弦波的理想信号量化噪声比至少为 90 dB。求 ADC 的最小位数 N。

SQNR ≥ 90 dB
N =
5.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 47 kΩR1​ = 22 kΩVin​ = −0.9 V

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 求输出电压 Vout。

Vin = −0.9 VR1 = 22 kΩRf = 47 kΩ
Vout = V
6.运放电路困难
−+Vout​Rf​ = 10 kΩV1​ = 0.9 VR1​ = 2 kΩV2​ = 1.2 VR2​ = 100 kΩIf​

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。 求流过反馈电阻、流向输出端的电流 If。

V1 = 0.9 VV2 = 1.2 VR1 = 2 kΩR2 = 100 kΩRf = 10 kΩ
If = mA
7.串并联电阻中等
R1​ = 2 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩIR2​AR4​4 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 12 VR1 = 2 ΩR2 = 20 ΩR3 = 5 ΩR4 = 4 Ω
IR2 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 8 ΩIR1​R3​ = 20 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩAR4​10 ΩBR6​12 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 24 VR1 = 8 ΩR2 = 10 ΩR3 = 20 ΩR4 = 10 ΩR5 = 3 ΩR6 = 12 Ω
IR1 = A
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 20 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 18 VR1 = 20 ΩR2 = 6 ΩR3 = 2 Ω
Rth = Ω
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 5 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​5 VR2​20 ΩAIs​4 ABRL​5 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 5 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 5 VIs = 4 AR1 = 5 ΩR2 = 20 ΩR3 = 4 ΩRL = 5 Ω
PL = W

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: Rth = 276.5 Ω

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

电源短路

R₁∥R₂ = 10·500/510 = 9.804 Ω
R₃∥R₄ = 800·400/1200 = 266.7 Ω

戴维南电阻

Rth = 276.5 Ω

答案

Rth = 276.5 Ω
2.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 3 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 2·500·10⁻⁶ = 0.001

电桥输出

Vo = Vs·GF·ε = 3·0.001 = 3 mV

答案

Vo = 3 mV
3.数据采集与采样

答案: fa = 1.5 kHz

采样：ADC 每秒测量信号 fs 次。根据奈奎斯特–香农定理，只有当 f < fs/2（奈奎斯特频率，也称折叠频率）时，频率 f 才能被正确采集，因此采样率必须超过最高信号频率的两倍。更高的频率不会丢失：它会作为混叠出现在 fa = |f − k·fs|，其中整数 k 使结果落在 0 到 fs/2 之间。采样点无法区分二者，因此必须在 ADC 之前用模拟抗混叠滤波器滤除 fs/2 以上的全部成分。

奈奎斯特频率

fs/2 = 5 kHz < f = 11.5 kHz

最接近的采样率整数倍

k = round(11.5/10) = 1

混叠频率

fa = |11.5 − 1·10| = 1.5 kHz

答案

fa = 1.5 kHz

图中的虚线曲线就是混叠：它恰好通过相同的采样点。

4.数据采集与采样

答案: N = 15

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

解出 N

N ≥ (90 − 1.76)/6.02 = 14.66

向上取整

N = 15
校核: 6.02·15 + 1.76 = 92.06 dB ≥ 90 dB

答案

N = 15
5.运放电路

答案: Vout = −2.823 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = −0.9 V
I = V₋/R1 = −0.9/22 = −0.04091 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 Rf。

Vout = V₋ + I·Rf = −0.9 + (−0.04091)·47 = −2.823 V

答案

Vout = −2.823 V
6.运放电路

答案: If = 0.462 mA

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I1 = V1/R1 = 0.9/2 = 0.45 mA
I2 = V2/R2 = 1.2/100 = 0.012 mA
If = I1 + I2 = 0.462 mA

答案

If = 0.462 mA
7.串并联电阻

答案: IR2 = 0.4538 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 2 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAR4​4 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 5 + 4 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 20·9/(20+9) = 6.207 Ω
Req = R1 + 6.207 = 2 + 6.207 = 8.207 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 12/8.207 = 1.462 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 1.462·2 = 9.076 V
IR2 = VA/R2 = 9.076/20 = 0.4538 A

答案

IR2 = 0.4538 A
8.串并联电阻

答案: IR1 = 1.577 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 8 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩAR4​10 ΩBR6​12 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 3 + 12 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 6 Ω
R3 + 6 = 26 Ω
R2 ∥ 26 = 7.222 Ω
Req = R1 + 7.222 = 8 + 7.222 = 15.22 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 24/15.22 = 1.577 A

答案

IR1 = 1.577 A
9.戴维南和诺顿

答案: Rth = 6.615 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 20 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​6 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 20·6/(20+6) = 4.615 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4.615 + 2 = 6.615 Ω
10.戴维南和诺顿

答案: PL = 23.2 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 4 Ω短路R2​20 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·20/(5+20) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 4 = 8 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​5 VR2​20 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4 + (−4)·4 = −12 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −12 + (−4)·4 = −28 V
Rth​ = 8 Ω−+Vth​28 VRL​5 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = −28/(8 + 5) = −2.154 A
PL = IL²·RL = −2.154²·5 = 23.2 W

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