测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−6 VR1​ = 20 ΩR2​ = 20 ΩR3​ = 400 ΩR4​ = 80 Ωab+−Rth​ = ?

求图示电桥从输出端 a、b 看进去的戴维南电阻 Rth。

Vs = 6 VR1 = 20 ΩR2 = 20 ΩR3 = 400 ΩR4 = 80 Ω
Rth = Ω
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−5 V120 Ω120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−1 mV

某 1/4 桥有一个工作应变片（GF = 2），激励电压为 5 V。受载时输出读数为 1 mV。求应变 ε，单位为 µε。

Vs = 5 VGF = 2Vo = 1 mV
ε = µε
3.数据采集与采样中等
Vin​N = ?150 °C2ᴺ − 10≤ 0.25 °C

一个传感器在 150 °C 的量程内测量温度，其输出充满 ADC 的整个输入范围。读数必须分辨出 0.25 °C。求 ADC 所需的最小位数 N。

量程 = 150 °C分辨率 = 0.25 °C
N =
4.数据采集与采样困难
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​Tb​10·Tb​38400 Bd, 8N1

一个 16 位 ADC 通过 UART 以 38400 波特、8N1 格式（起始位、8 个数据位、1 个停止位）发送每个采样点。每个采样点以 2 个整字节发送，且链路一直处于忙碌状态。求能无混叠采样的最高信号频率 fmax，单位 Hz。

baud = 38400 BdN = 168N1
fmax = Hz
5.运放电路中等
−+Vout​R2​ = 22 kΩV1​ = 2 VR1​ = 47 kΩV2​ = 1.2 VR3​ = 47 kΩR4​ = 22 kΩ

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R3 = R1，R4 = R2。 求反相输入端的电压 V−。

V1 = 2 VV2 = 1.2 VR1 = R3 = 47 kΩR2 = R4 = 22 kΩ
V− = V
6.运放电路困难
−+Vout​Rf​ = 47 kΩV1​ = 2 VR1​ = 10 kΩV2​ = 0.6 VR2​ = 100 kΩ

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。 求输出电压 Vout。

V1 = 2 VV2 = 0.6 VR1 = 10 kΩR2 = 100 kΩRf = 47 kΩ
Vout = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 4 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩAR4​10 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 9 VR1 = 4 ΩR2 = 3 ΩR3 = 15 ΩR4 = 10 Ω
Req = Ω
8.串并联电阻困难
R1​ = 30 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​30 ΩAR4​30 ΩBR6​4 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 30 VR1 = 30 ΩR2 = 30 ΩR3 = 12 ΩR4 = 30 ΩR5 = 6 ΩR6 = 4 Ω
Req = Ω
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 12 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩARL​6 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 6 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 18 VR1 = 12 ΩR2 = 15 ΩR3 = 6 ΩRL = 6 Ω
IL = A
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 12 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​6 ΩAIs​4 ABRL​4 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 4 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 24 VIs = 4 AR1 = 12 ΩR2 = 6 ΩR3 = 8 ΩRL = 4 Ω
IL = A

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: Rth = 76.67 Ω

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

电源短路

R₁∥R₂ = 20·20/40 = 10 Ω
R₃∥R₄ = 400·80/480 = 66.67 Ω

戴维南电阻

Rth = 76.67 Ω

答案

Rth = 76.67 Ω
2.惠斯通电桥与应变片

答案: ε = 400 µε

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

解 1/4 桥方程

ε = 4·0.001/(5·2) = 0.0004

以微应变表示

ε = 400 µε

答案

ε = 400 µε
3.数据采集与采样

答案: N = 10

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

所需台阶数

150/0.25 = 600

位数

log₂(600) = 9.229
29 = 512 < 600 ≤ 210 = 1024
N = 10

答案

N = 10
4.数据采集与采样

答案: fmax = 960 Hz

UART：异步串行链路把每个字节作为一帧发送：一个起始位（低电平）、若干数据位、一个可选的校验位以及一个或两个停止位（高电平）。波特率是每秒的位数，所以一位持续 Tb = 1/波特率，n 位的一帧持续 n/波特率。常见的 8N1 格式每个字节占 10 位。波特率发生器对时钟分频：波特率 = fclk/(16·D)，其中 D 为整数，因此实际波特率与目标值略有差别；误差在约 2 % 以内通常可以接受。

线路上每个采样点的位数

2·10 = 20 bit

最高采样率

fs,max = 38400/20 = 1920 Hz

奈奎斯特极限

fmax = 1920/2 = 960 Hz

答案

fmax = 960 Hz
5.运放电路

答案: V− = 0.3826 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 1.2·22/(47 + 22) = 0.3826 V
V₋ = V₊

答案

V− = 0.3826 V
6.运放电路

答案: Vout = −9.682 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I1 = V1/R1 = 2/10 = 0.2 mA
I2 = V2/R2 = 0.6/100 = 0.006 mA
If = I1 + I2 = 0.206 mA

输出电压

Vout = −Rf·If = −47·0.206 = −9.682 V

答案

Vout = −9.682 V
7.串并联电阻

答案: Req = 6.679 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 4 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩAR4​10 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 15 + 10 = 25 Ω
R2 ∥ 25 = 3·25/(3+25) = 2.679 Ω
Req = R1 + 2.679 = 4 + 2.679 = 6.679 Ω

答案

Req = 6.679 Ω
8.串并联电阻

答案: Req = 41.82 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 30 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​30 ΩAR4​30 ΩBR6​4 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 6 + 4 = 10 Ω
R4 ∥ 10 = 7.5 Ω
R3 + 7.5 = 19.5 Ω
R2 ∥ 19.5 = 11.82 Ω
Req = R1 + 11.82 = 30 + 11.82 = 41.82 Ω

答案

Req = 41.82 Ω
9.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.5357 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 12 ΩR3​ = 6 Ω短路R2​15 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 12·15/(12+15) = 6.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6.667 + 6 = 12.67 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·15/(12+15) = 10 V
Rth​ = 12.67 Ω+−Vth​10 VRL​6 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 10/(12.67 + 6) = 0.5357 A
10.戴维南和诺顿

答案: IL = 3.5 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 12 ΩR3​ = 8 Ω短路R2​6 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 12·6/(12+6) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 8 = 12 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​6 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 8 + 4·4 = 24 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 24 + 4·8 = 56 V
Rth​ = 12 Ω+−Vth​56 VRL​4 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 56/(12 + 4) = 3.5 A

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