测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−12 V150 Ω150 Ω + ΔR150 Ω150 Ωab+−Vab​ = ?

某电桥的四个臂均为 150 Ω，Vs = 12 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 12 Ω。求精确输出 Vab，单位为 mV。

Vs = 12 VR = 150 ΩΔR = 12 Ω
Vab = mV
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−2.5 V120 Ω120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−0.961 mV

某 1/4 桥有一个工作应变片（GF = 2.05），激励电压为 2.5 V。受载时输出读数为 0.961 mV。求应变 ε，单位为 µε。

Vs = 2.5 VGF = 2.05Vo = 0.961 mV
ε = µε
3.数据采集与采样中等
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​Tb​10·Tb​115200 Bd, 8N1

一条 UART 以 115200 波特、8N1 格式发送字节：8 个数据位、无校验和 1 个停止位，外加起始位。求它每秒最多能传输多少个数据字节。

baud = 115200 Bd8N1
RB = B/s
4.数据采集与采样困难
f0fs​/2fs​300 Hz5f₁?

一个 300 Hz 方波在没有抗混叠滤波器的情况下以 2 kHz 采样。方波含有奇次谐波 3f₁、5f₁、7f₁、…… 它的谐波 5f₁ 在采样数据中出现在哪个频率 fa？以 Hz 给出。

f₁ = 300 Hzfs = 2 kHz谐波: 5f₁
fa = Hz
5.运放电路中等
−+Vout​R2​ = 47 kΩV1​ = 2.8 VR1​ = 22 kΩV2​ = −0.4 VR3​ = 22 kΩR4​ = 47 kΩ

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R3 = R1，R4 = R2。 求输出电压 Vout。

V1 = 2.8 VV2 = −0.4 VR1 = R3 = 22 kΩR2 = R4 = 47 kΩ
Vout = V
6.运放电路困难
−+Vout​Rf​ = 1 kΩV1​ = −0.8 VR1​ = 1 kΩV2​ = 1.4 VR2​ = 22 kΩIf​

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。 求流过反馈电阻、流向输出端的电流 If。

V1 = −0.8 VV2 = 1.4 VR1 = 1 kΩR2 = 22 kΩRf = 1 kΩ
If = mA
7.串并联电阻中等
R1​ = 4 ΩIR1​R3​ = 15 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAR4​6 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 6 VR1 = 4 ΩR2 = 3 ΩR3 = 15 ΩR4 = 6 Ω
IR1 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 5 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​20 ΩIR2​AR4​12 ΩBR6​4 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 6 VR1 = 5 ΩR2 = 20 ΩR3 = 25 ΩR4 = 12 ΩR5 = 4 ΩR6 = 4 Ω
IR2 = A
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 5 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​12 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 6 VR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 4 Ω
Vth = V
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 12 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAIs​1.5 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 9 VIs = 1.5 AR1 = 12 ΩR2 = 6 ΩR3 = 30 Ω
IN = A

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: Vab = 230.8 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

节点电压

Va = 12·162/312 = 6.231 V
Vb = 6 V

出量

Vab = 230.8 mV

答案

Vab = 230.8 mV

线性估计 Vs·ΔR/(4R) = 240 mV 偏高 4 %：1/4 桥并不完全是线性的。

2.惠斯通电桥与应变片

答案: ε = 750 µε

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

解 1/4 桥方程

ε = 4·0.000961/(2.5·2.05) = 0.00075

以微应变表示

ε = 750 µε

答案

ε = 750 µε
3.数据采集与采样

答案: RB = 11520 B/s

UART：异步串行链路把每个字节作为一帧发送：一个起始位（低电平）、若干数据位、一个可选的校验位以及一个或两个停止位（高电平）。波特率是每秒的位数，所以一位持续 Tb = 1/波特率，n 位的一帧持续 n/波特率。常见的 8N1 格式每个字节占 10 位。波特率发生器对时钟分频：波特率 = fclk/(16·D)，其中 D 为整数，因此实际波特率与目标值略有差别；误差在约 2 % 以内通常可以接受。

每帧位数

1 + 8 + 0 + 1 = 10

字节速率

115200/10 = 11520 B/s

答案

RB = 11520 B/s
4.数据采集与采样

答案: fa = 500 Hz

采样：ADC 每秒测量信号 fs 次。根据奈奎斯特–香农定理，只有当 f < fs/2（奈奎斯特频率，也称折叠频率）时，频率 f 才能被正确采集，因此采样率必须超过最高信号频率的两倍。更高的频率不会丢失：它会作为混叠出现在 fa = |f − k·fs|，其中整数 k 使结果落在 0 到 fs/2 之间。采样点无法区分二者，因此必须在 ADC 之前用模拟抗混叠滤波器滤除 fs/2 以上的全部成分。

谐波频率

5f₁ = 5·300 Hz = 1.5 kHz

最接近的采样率整数倍

m = round(0.75) = 1

混叠频率

fa = |1500 − 1·2000| = 500 Hz

答案

fa = 500 Hz

混叠落在信号频带内，任何数字滤波器都无法去除它。只有在 ADC 之前使用模拟滤波器才有帮助。

5.运放电路

答案: Vout = −6.836 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = −0.4·47/(22 + 47) = −0.2725 V
V₋ = V₊

反相输入端的 KCL

(2.8 − −0.2725)/22 = (−0.2725 − Vout)/47
Vout = (R2/R1)·(V2 − V1) = (47/22)·(−0.4 − 2.8) = −6.836 V

答案

Vout = −6.836 V
6.运放电路

答案: If = −0.7364 mA

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I1 = V1/R1 = −0.8/1 = −0.8 mA
I2 = V2/R2 = 1.4/22 = 0.06364 mA
If = I1 + I2 = −0.7364 mA

答案

If = −0.7364 mA
7.串并联电阻

答案: IR1 = 0.9057 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 4 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAR4​6 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 15 + 6 = 21 Ω
R2 ∥ 21 = 3·21/(3+21) = 2.625 Ω
Req = R1 + 2.625 = 4 + 2.625 = 6.625 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 6/6.625 = 0.9057 A

答案

IR1 = 0.9057 A
8.串并联电阻

答案: IR2 = 0.2116 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 5 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​20 ΩAR4​12 ΩBR6​4 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 4 + 4 = 8 Ω
R4 ∥ 8 = 4.8 Ω
R3 + 4.8 = 29.8 Ω
R2 ∥ 29.8 = 11.97 Ω
Req = R1 + 11.97 = 5 + 11.97 = 16.97 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 6/16.97 = 0.3536 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0.3536·5 = 4.232 V
IR2 = VA/R2 = 4.232/20 = 0.2116 A

答案

IR2 = 0.2116 A
9.戴维南和诺顿

答案: Vth = 4.235 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 4 Ω短路R2​12 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·12/(5+12) = 3.529 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.529 + 4 = 7.529 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​12 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·12/(5+12) = 4.235 V
10.戴维南和诺顿

答案: IN = 1.588 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 12 ΩR3​ = 30 Ω短路R2​6 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 12·6/(12+6) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 30 = 34 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAIs​1.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3 + 1.5·4 = 9 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 9 + 1.5·30 = 54 V
IN​1.588 ARth​34 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 54/34 = 1.588 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation