测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−5 VR1​ = 250 ΩR2​ = 400 ΩR3​ = 250 ΩR4​ = 120 ΩabGRg​ = 500 Ω

一个电阻为 500 Ω 的检流计接在图示电桥的 a 和 b 之间（Vs = 5 V）。求从 a 流向 b 的检流计电流 Ig，单位为 µA。

Vs = 5 VR1 = 250 ΩR2 = 400 ΩR3 = 250 ΩR4 = 120 ΩRg = 500 Ω
Ig = µA
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−5 V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−0.625 mV

某 1/4 桥有一个工作应变片（GF = 2），激励电压为 5 V。受载时输出读数为 0.625 mV。求应变 ε，单位为 µε。

Vs = 5 VGF = 2Vo = 0.625 mV
ε = µε
3.数据采集与采样中等
tTs​ = 1/fs​f = 5.4 kHzfs​ = 4 kHz

一个 5.4 kHz 的正弦波在没有抗混叠滤波器的情况下以 4 kHz 采样。它在采样中出现在哪个频率 fa？以 Hz 给出。

f = 5.4 kHzfs = 4 kHz
fa = Hz
4.数据采集与采样困难
T10 mV/°C×5∿01N = 12, 5 V? °C/LSB

一个温度传感器给出 10 mV/°C（0 °C 时为 0 V）。其信号被放大 5 倍后送入量程为 0 到 5 V 的 12 位 ADC（1 LSB = VFSR/2ᴺ）。求对应一个 LSB 的温度变化 ΔTLSB。

S = 10 mV/°CG = 5N = 12VFSR = 5 V
ΔTLSB = °C
5.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = ?R1​ = 4.7 kΩVin​

选择反馈电阻 Rf，使该同相放大器的电压增益为 15。

R1 = 4.7 kΩAv = 15
Rf = kΩ
6.运放电路困难
Vin​V1​Vout​第 1 级：反相R1​ = 22 kΩRf1​ = 22 kΩ第 2 级：同相R2​ = 2 kΩRf2​ = 100 kΩ

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R1，Rf1），后接一个同相放大器（R2 接地，Rf2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。 输入为 Vin = 0.05 V。求输出电压 Vout。

R1 = 22 kΩRf1 = 22 kΩR2 = 2 kΩRf2 = 100 kΩVin = 0.05 V
Vout = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩIR2​AR4​15 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 9 VR1 = 8 ΩR2 = 15 ΩR3 = 2 ΩR4 = 15 Ω
IR2 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 2 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​15 VR2​2 ΩAR4​12 ΩBR6​10 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 15 VR1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 20 ΩR4 = 12 ΩR5 = 4 ΩR6 = 10 Ω
Req = Ω
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 10 VR1 = 2 ΩR2 = 12 ΩR3 = 15 Ω
Vth = V
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 30 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​5 VR2​15 ΩAIs​5 ABRL​6 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 6 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 5 VIs = 5 AR1 = 30 ΩR2 = 15 ΩR3 = 2 ΩRL = 6 Ω
IL = A

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: Ig = 1980 µA

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

戴维南电压

Vth = 5·(400/650 − 120/370) = 1.455 V

戴维南电阻

Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 234.9 Ω

检流计电流

Ig = 1.455/(234.9 + 500) = 1980 µA

答案

Ig = 1980 µA
2.惠斯通电桥与应变片

答案: ε = 250 µε

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

解 1/4 桥方程

ε = 4·0.000625/(5·2) = 0.00025

以微应变表示

ε = 250 µε

答案

ε = 250 µε
3.数据采集与采样

答案: fa = 1400 Hz

采样：ADC 每秒测量信号 fs 次。根据奈奎斯特–香农定理，只有当 f < fs/2（奈奎斯特频率，也称折叠频率）时，频率 f 才能被正确采集，因此采样率必须超过最高信号频率的两倍。更高的频率不会丢失：它会作为混叠出现在 fa = |f − k·fs|，其中整数 k 使结果落在 0 到 fs/2 之间。采样点无法区分二者，因此必须在 ADC 之前用模拟抗混叠滤波器滤除 fs/2 以上的全部成分。

奈奎斯特频率

fs/2 = 2 kHz < f = 5.4 kHz

最接近的采样率整数倍

k = round(5400/4000) = 1

混叠频率

fa = |5400 − 1·4000| = 1400 Hz

答案

fa = 1400 Hz

图中的虚线曲线就是混叠：它恰好通过相同的采样点。

4.数据采集与采样

答案: ΔTLSB = 0.02441 °C

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

步长

1 LSB = 5000/4096 = 1.221 mV

ADC 处的灵敏度

10·5 = 50 mV/°C

温度分辨率

ΔTLSB = 1.221/50 = 0.02441 °C

答案

ΔTLSB = 0.02441 °C

ADC 在 100 °C 时达到满量程。

5.运放电路

答案: Rf = 65.8 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = Vin，且流过 R₁ 的电流也流过 Rf，所以 Vout = Vin·(1 + Rf/R₁)。

Av = 1 + Rf/R1
Rf = (15 − 1)·4.7 = 65.8 kΩ

答案

Rf = 65.8 kΩ
6.运放电路

答案: Vout = −2.55 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

各级的增益

A1 = −Rf1/R1 = −22/22 = −1
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 100/2 = 51

逐级计算

V1 = −1·0.05 = −0.05 V
Vout = 51·(−0.05) = −2.55 V

答案

Vout = −2.55 V
7.串并联电阻

答案: IR2 = 0.2994 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 8 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAR4​15 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 2 + 15 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 15·17/(15+17) = 7.969 Ω
Req = R1 + 7.969 = 8 + 7.969 = 15.97 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 9/15.97 = 0.5636 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0.5636·8 = 4.491 V
IR2 = VA/R2 = 4.491/15 = 0.2994 A

答案

IR2 = 0.2994 A
8.串并联电阻

答案: Req = 3.859 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 2 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​15 VR2​2 ΩAR4​12 ΩBR6​10 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 4 + 10 = 14 Ω
R4 ∥ 14 = 6.462 Ω
R3 + 6.462 = 26.46 Ω
R2 ∥ 26.46 = 1.859 Ω
Req = R1 + 1.859 = 2 + 1.859 = 3.859 Ω

答案

Req = 3.859 Ω
9.戴维南和诺顿

答案: Vth = 8.571 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω短路R2​12 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·12/(2+12) = 1.714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.714 + 15 = 16.71 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·12/(2+12) = 8.571 V
10.戴维南和诺顿

答案: IL = 3.426 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 30 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​15 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 30·15/(30+15) = 10 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 10 + 2 = 12 Ω
R1​ = 30 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​5 VR2​15 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1.667 + 5·10 = 51.67 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 51.67 + 5·2 = 61.67 V
Rth​ = 12 Ω+−Vth​61.67 VRL​6 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 61.67/(12 + 6) = 3.426 A

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