测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−9 VR1​ = 150 ΩR2​ = 300 ΩR3​ = 400 ΩR4​ = 20 ΩabGRg​ = 500 Ω

一个电阻为 500 Ω 的检流计接在图示电桥的 a 和 b 之间（Vs = 9 V）。求从 a 流向 b 的检流计电流 Ig，单位为 µA。

Vs = 9 VR1 = 150 ΩR2 = 300 ΩR3 = 400 ΩR4 = 20 ΩRg = 500 Ω
Ig = µA
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−12 V350 Ω − ΔR350 Ω + ΔR350 Ω + ΔR350 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

某称重传感器（应变片全桥）在额定载荷 50 kg 时的额定输出为 1 mV/V。激励电压为 12 V。求它在 30 kg 载荷下的输出 Vo。

1 mV/VFrated = 50 kgVs = 12 VF = 30 kg
Vo = mV
3.数据采集与采样中等
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​PTb​11·Tb​19200 Bd, 8E1

一条 UART 以 19200 波特、8E1 格式发送字节：8 个数据位、一个偶校验位和 1 个停止位，外加起始位。求它每秒最多能传输多少个数据字节。

baud = 19200 Bd8E1
RB = B/s
4.数据采集与采样困难
122 ch∿01tc​ = 4 µstset​ = 2.5 µsfs​ = ?

一个 2 通道的多路复用器为一个 ADC 供给信号。每次转换需要 4 µs，每次切换通道后输入还需要 2.5 µs 建立。各通道不间断地依次扫描。求每个通道的采样率 fs，单位 kHz。

n = 2tc = 4 µstset = 2.5 µs
fs = kHz
5.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 4.7 kΩR1​ = 1 kΩVin​ = 1.6 V

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 求输出电压 Vout。

Vin = 1.6 VR1 = 1 kΩRf = 4.7 kΩ
Vout = V
6.运放电路困难
Vin​V1​Vout​第 1 级：反相R1​ = 1 kΩRf1​ = 10 kΩ第 2 级：同相R2​ = 47 kΩRf2​ = 4.7 kΩ

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R1，Rf1），后接一个同相放大器（R2 接地，Rf2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。 输入为 Vin = 0.5 V。求输出电压 Vout。

R1 = 1 kΩRf1 = 10 kΩR2 = 47 kΩRf2 = 4.7 kΩVin = 0.5 V
Vout = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩIR2​AR4​15 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 18 VR1 = 15 ΩR2 = 15 ΩR3 = 8 ΩR4 = 15 Ω
IR2 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 5 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​24 VR2​30 ΩIR2​AR4​3 ΩBR6​5 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 30 ΩR3 = 2 ΩR4 = 3 ΩR5 = 12 ΩR6 = 5 Ω
IR2 = A
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 4 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 15 VR1 = 4 ΩR2 = 5 ΩR3 = 15 Ω
Vth = V
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 25 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩAIs​1.5 ABRL​30 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 30 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 18 VIs = 1.5 AR1 = 25 ΩR2 = 4 ΩR3 = 2 ΩRL = 30 Ω
IL = A

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: Ig = 9000 µA

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

戴维南电压

Vth = 9·(300/450 − 20/420) = 5.571 V

戴维南电阻

Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 119 Ω

检流计电流

Ig = 5.571/(119 + 500) = 9000 µA

答案

Ig = 9000 µA
2.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 7.2 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

满量程输出

1·12 = 12 mV

该载荷下的输出

Vo = 12·30/50 = 7.2 mV

答案

Vo = 7.2 mV
3.数据采集与采样

答案: RB = 1745 B/s

UART：异步串行链路把每个字节作为一帧发送：一个起始位（低电平）、若干数据位、一个可选的校验位以及一个或两个停止位（高电平）。波特率是每秒的位数，所以一位持续 Tb = 1/波特率，n 位的一帧持续 n/波特率。常见的 8N1 格式每个字节占 10 位。波特率发生器对时钟分频：波特率 = fclk/(16·D)，其中 D 为整数，因此实际波特率与目标值略有差别；误差在约 2 % 以内通常可以接受。

每帧位数

1 + 8 + 1 + 1 = 11

字节速率

19200/11 = 1745 B/s

答案

RB = 1745 B/s
4.数据采集与采样

答案: fs = 76.92 kHz

数据速率：每个通道每秒提供 fs 个 N 位的采样，因此原始速率为 通道数 × fs × N bit/s。在内存中一个采样占用整数个字节（12 位采样存为 2 个字节），因此一段记录的内存为 通道数 × fs × 每个采样的字节数 × 时间。多路复用 ADC 依次转换各通道：每次转换（含建立时间）需要 t，所以 n 个通道转一轮需要 n·t，每个通道的采样频率为 1/(n·t)。

每个通道的时间

4 + 2.5 = 6.5 µs

每次扫描的时间

2·6.5 = 13 µs

每个通道的采样率

fs = 1/13 µs = 76.92 kHz

答案

fs = 76.92 kHz
5.运放电路

答案: Vout = 9.12 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = 1.6 V
I = V₋/R1 = 1.6/1 = 1.6 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 Rf。

Vout = V₋ + I·Rf = 1.6 + 1.6·4.7 = 9.12 V

答案

Vout = 9.12 V
6.运放电路

答案: Vout = −5.5 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

各级的增益

A1 = −Rf1/R1 = −10/1 = −10
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 4.7/47 = 1.1

逐级计算

V1 = −10·0.5 = −5 V
Vout = 1.1·(−5) = −5.5 V

答案

Vout = −5.5 V
7.串并联电阻

答案: IR2 = 0.4525 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAR4​15 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 8 + 15 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 15·23/(15+23) = 9.079 Ω
Req = R1 + 9.079 = 15 + 9.079 = 24.08 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 18/24.08 = 0.7475 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 0.7475·15 = 6.787 V
IR2 = VA/R2 = 6.787/15 = 0.4525 A

答案

IR2 = 0.4525 A
8.串并联电阻

答案: IR2 = 0.3531 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 5 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​24 VR2​30 ΩAR4​3 ΩBR6​5 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 12 + 5 = 17 Ω
R4 ∥ 17 = 2.55 Ω
R3 + 2.55 = 4.55 Ω
R2 ∥ 4.55 = 3.951 Ω
Req = R1 + 3.951 = 5 + 3.951 = 8.951 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 24/8.951 = 2.681 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 2.681·5 = 10.59 V
IR2 = VA/R2 = 10.59/30 = 0.3531 A

答案

IR2 = 0.3531 A
9.戴维南和诺顿

答案: Vth = 8.333 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 4 ΩR3​ = 15 Ω短路R2​5 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 4·5/(4+5) = 2.222 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.222 + 15 = 17.22 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·5/(4+5) = 8.333 V
10.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.3006 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 25 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​4 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 25·4/(25+4) = 3.448 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.448 + 2 = 5.448 Ω
R1​ = 25 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩAIs​1.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2.483 + 1.5·3.448 = 7.655 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 7.655 + 1.5·2 = 10.66 V
Rth​ = 5.448 Ω+−Vth​10.66 VRL​30 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 10.66/(5.448 + 30) = 0.3006 A

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