测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−10 V470 Ω470 Ω470 Ω470 Ωab+−

一个 470 Ω 的应变片是电桥的一个臂（R₂），电桥四个臂均为 470 Ω，激励电压为 10 V。求应变片上消耗的功率 Pg，单位为 mW。自热限制了激励电压。

Vs = 10 VR = 470 Ω
Pg = mW
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−2.5 V120 Ω120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−Vo​ = ?

某电桥的各臂为 120 Ω，激励电压为 2.5 V，采用 一个工作应变片（1/4 桥）。灵敏系数为 2，应变为 500 µε。求电桥输出 Vo，单位为 mV。

Vs = 2.5 VGF = 2ε = 500 µε
Vo = mV
3.数据采集与采样中等
Vin​N = 82.5 V01 LSB2.329 V?

一个输入量程为 0 到 2.5 V 的 8 位 ADC 采用截断：其输出码为 ⌊Vin/LSB⌋，其中 1 LSB = VFSR/2ᴺ。求输入 2.329 V 时的十进制输出码 D。

N = 8VFSR = 2.5 VVin = 2.329 V
D =
4.数据采集与采样困难
122 ch∿01tc​ = 10 µstset​ = 0.5 µsfs​ = ?

一个 2 通道的多路复用器为一个 ADC 供给信号。每次转换需要 10 µs，每次切换通道后输入还需要 0.5 µs 建立。各通道不间断地依次扫描。求每个通道的采样率 fs，单位 kHz。

n = 2tc = 10 µstset = 0.5 µs
fs = kHz
5.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 4.7 kΩR1​ = 4.7 kΩVin​ = −0.6 V

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 求输出电压 Vout。

Vin = −0.6 VR1 = 4.7 kΩRf = 4.7 kΩ
Vout = V
6.运放电路困难
Vin​V1​Vout​第 1 级：反相R1​ = 1 kΩRf1​ = 1 kΩ第 2 级：同相R2​ = 1 kΩRf2​ = 2 kΩ

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R1，Rf1），后接一个同相放大器（R2 接地，Rf2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。 输入为 Vin = 0.6 V。求输出电压 Vout。

R1 = 1 kΩRf1 = 1 kΩR2 = 1 kΩRf2 = 2 kΩVin = 0.6 V
Vout = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 2 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​3 ΩIR2​AR4​10 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 12 VR1 = 2 ΩR2 = 3 ΩR3 = 6 ΩR4 = 10 Ω
IR2 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 4 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​18 VR2​30 ΩIR2​AR4​10 ΩBR6​30 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 18 VR1 = 4 ΩR2 = 30 ΩR3 = 25 ΩR4 = 10 ΩR5 = 30 ΩR6 = 30 Ω
IR2 = A
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩARL​3 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 3 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 9 VR1 = 8 ΩR2 = 6 ΩR3 = 10 ΩRL = 3 Ω
IL = A
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 12 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​6 VR2​2 ΩAIs​2.5 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 6 VIs = 2.5 AR1 = 12 ΩR2 = 2 ΩR3 = 25 Ω
Vth = V

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: Pg = 53.19 mW

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

应变片两端的电压

V = 10/2 = 5 V

功率

Pg = 5²/470 = 53.19 mW

答案

Pg = 53.19 mW
2.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 0.625 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 2·500·10⁻⁶ = 0.001

电桥输出

Vo ≈ Vs·GF·ε/4 = 2.5·0.001/4 = 0.625 mV

答案

Vo = 0.625 mV
3.数据采集与采样

答案: D = 238

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

步长

1 LSB = 2.5/28 = 9.766 mV

码值

Vin/LSB = 2329/9.766 = 238.5
码值 = ⌊238.5⌋ = 238

答案

D = 238

用二进制表示是 11101110。

4.数据采集与采样

答案: fs = 47.62 kHz

数据速率：每个通道每秒提供 fs 个 N 位的采样，因此原始速率为 通道数 × fs × N bit/s。在内存中一个采样占用整数个字节（12 位采样存为 2 个字节），因此一段记录的内存为 通道数 × fs × 每个采样的字节数 × 时间。多路复用 ADC 依次转换各通道：每次转换（含建立时间）需要 t，所以 n 个通道转一轮需要 n·t，每个通道的采样频率为 1/(n·t)。

每个通道的时间

10 + 0.5 = 10.5 µs

每次扫描的时间

2·10.5 = 21 µs

每个通道的采样率

fs = 1/21 µs = 47.62 kHz

答案

fs = 47.62 kHz
5.运放电路

答案: Vout = −1.2 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = −0.6 V
I = V₋/R1 = −0.6/4.7 = −0.1277 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 Rf。

Vout = V₋ + I·Rf = −0.6 + (−0.1277)·4.7 = −1.2 V

答案

Vout = −1.2 V
6.运放电路

答案: Vout = −1.8 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

各级的增益

A1 = −Rf1/R1 = −1/1 = −1
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 2/1 = 3

逐级计算

V1 = −1·0.6 = −0.6 V
Vout = 3·(−0.6) = −1.8 V

答案

Vout = −1.8 V
7.串并联电阻

答案: IR2 = 2.233 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 2 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​3 ΩAR4​10 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 6 + 10 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 3·16/(3+16) = 2.526 Ω
Req = R1 + 2.526 = 2 + 2.526 = 4.526 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 12/4.526 = 2.651 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 2.651·2 = 6.698 V
IR2 = VA/R2 = 6.698/3 = 2.233 A

答案

IR2 = 2.233 A
8.串并联电阻

答案: IR2 = 0.479 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 4 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​18 VR2​30 ΩAR4​10 ΩBR6​30 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 30 + 30 = 60 Ω
R4 ∥ 60 = 8.571 Ω
R3 + 8.571 = 33.57 Ω
R2 ∥ 33.57 = 15.84 Ω
Req = R1 + 15.84 = 4 + 15.84 = 19.84 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 18/19.84 = 0.9071 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 0.9071·4 = 14.37 V
IR2 = VA/R2 = 14.37/30 = 0.479 A

答案

IR2 = 0.479 A
9.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.2348 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 10 Ω短路R2​6 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·6/(8+6) = 3.429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.429 + 10 = 13.43 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·6/(8+6) = 3.857 V
Rth​ = 13.43 Ω+−Vth​3.857 VRL​3 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 3.857/(13.43 + 3) = 0.2348 A
10.戴维南和诺顿

答案: Vth = 67.64 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 12 ΩR3​ = 25 Ω短路R2​2 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 12·2/(12+2) = 1.714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.714 + 25 = 26.71 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​6 VR2​2 ΩAIs​2.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 0.8571 + 2.5·1.714 = 5.143 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 5.143 + 2.5·25 = 67.64 V

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