测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−9 VR1​ = 40 ΩR2​ = 600 ΩR3​ = 400 ΩR4​ = 1000 ΩabGRg​ = 500 Ω

一个电阻为 500 Ω 的检流计接在图示电桥的 a 和 b 之间（Vs = 9 V）。求从 a 流向 b 的检流计电流 Ig，单位为 µA。

Vs = 9 VR1 = 40 ΩR2 = 600 ΩR3 = 400 ΩR4 = 1000 ΩRg = 500 Ω
Ig = µA
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−5 V1000 Ω − ΔR1000 Ω + ΔR1000 Ω + ΔR1000 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

某称重传感器（应变片全桥）在额定载荷 200 kg 时的额定输出为 2.5 mV/V。激励电压为 5 V。求它在 40 kg 载荷下的输出 Vo。

2.5 mV/VFrated = 200 kgVs = 5 VF = 40 kg
Vo = mV
3.数据采集与采样中等
128⋮8 ch∿01N = 242 kHz? MB

一台记录仪用 24 位 ADC 对 8 个通道各以 2 kHz 采样。每个采样点以整数个字节存储。求 30 min 记录所需的内存 M，单位 MB（1 MB = 10⁶ 字节）。

n = 8fs = 2 kHzN = 24t = 30 min
M = MB
4.数据采集与采样困难
122 ch∿01tc​ = 8 µstset​ = 2.5 µsfs​ = ?

一个 2 通道的多路复用器为一个 ADC 供给信号。每次转换需要 8 µs，每次切换通道后输入还需要 2.5 µs 建立。各通道不间断地依次扫描。求每个通道的采样率 fs，单位 kHz。

n = 2tc = 8 µstset = 2.5 µs
fs = kHz
5.运放电路中等
−+Vout​R2​ = 47 kΩV1​ = 2.2 VR1​ = 4.7 kΩV2​ = 2.5 VR3​ = 4.7 kΩR4​ = 47 kΩ

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R3 = R1，R4 = R2。 求输出电压 Vout。

V1 = 2.2 VV2 = 2.5 VR1 = R3 = 4.7 kΩR2 = R4 = 47 kΩ
Vout = V
6.运放电路困难
−+Vout​Rf​ = 2 kΩV1​ = −1.6 VR1​ = 10 kΩV2​ = −0.3 VR2​ = 2 kΩIf​

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。 求流过反馈电阻、流向输出端的电流 If。

V1 = −1.6 VV2 = −0.3 VR1 = 10 kΩR2 = 2 kΩRf = 2 kΩ
If = mA
7.串并联电阻中等
R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​30 VR2​10 ΩAR4​8 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 30 VR1 = 2 ΩR2 = 10 ΩR3 = 15 ΩR4 = 8 Ω
Req = Ω
8.串并联电阻困难
R1​ = 4 ΩIR1​R3​ = 5 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAR4​12 ΩBR6​4 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 18 VR1 = 4 ΩR2 = 15 ΩR3 = 5 ΩR4 = 12 ΩR5 = 30 ΩR6 = 4 Ω
IR1 = A
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 12 ΩR3 = 8 Ω
IN = A
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 12 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAIs​2.5 ABRL​2 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 2 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 9 VIs = 2.5 AR1 = 12 ΩR2 = 6 ΩR3 = 5 ΩRL = 2 Ω
PL = W

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: Ig = 2440 µA

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

戴维南电压

Vth = 9·(600/640 − 1000/1400) = 2.009 V

戴维南电阻

Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 323.2 Ω

检流计电流

Ig = 2.009/(323.2 + 500) = 2440 µA

答案

Ig = 2440 µA
2.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 2.5 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

满量程输出

2.5·5 = 12.5 mV

该载荷下的输出

Vo = 12.5·40/200 = 2.5 mV

答案

Vo = 2.5 mV
3.数据采集与采样

答案: M = 86.4 MB

数据速率：每个通道每秒提供 fs 个 N 位的采样，因此原始速率为 通道数 × fs × N bit/s。在内存中一个采样占用整数个字节（12 位采样存为 2 个字节），因此一段记录的内存为 通道数 × fs × 每个采样的字节数 × 时间。多路复用 ADC 依次转换各通道：每次转换（含建立时间）需要 t，所以 n 个通道转一轮需要 n·t，每个通道的采样频率为 1/(n·t)。

每个采样的字节数

⌈24/8⌉ = 3 B

字节速率

8·2000·3 = 48000 B/s

内存

M = 48000·1800 = 8.64 × 10⁷ B = 86.4 MB

答案

M = 86.4 MB
4.数据采集与采样

答案: fs = 47.62 kHz

数据速率：每个通道每秒提供 fs 个 N 位的采样，因此原始速率为 通道数 × fs × N bit/s。在内存中一个采样占用整数个字节（12 位采样存为 2 个字节），因此一段记录的内存为 通道数 × fs × 每个采样的字节数 × 时间。多路复用 ADC 依次转换各通道：每次转换（含建立时间）需要 t，所以 n 个通道转一轮需要 n·t，每个通道的采样频率为 1/(n·t)。

每个通道的时间

8 + 2.5 = 10.5 µs

每次扫描的时间

2·10.5 = 21 µs

每个通道的采样率

fs = 1/21 µs = 47.62 kHz

答案

fs = 47.62 kHz
5.运放电路

答案: Vout = 3 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 2.5·47/(4.7 + 47) = 2.273 V
V₋ = V₊

反相输入端的 KCL

(2.2 − 2.273)/4.7 = (2.273 − Vout)/47
Vout = (R2/R1)·(V2 − V1) = (47/4.7)·(2.5 − 2.2) = 3 V

答案

Vout = 3 V
6.运放电路

答案: If = −0.31 mA

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I1 = V1/R1 = −1.6/10 = −0.16 mA
I2 = V2/R2 = −0.3/2 = −0.15 mA
If = I1 + I2 = −0.31 mA

答案

If = −0.31 mA
7.串并联电阻

答案: Req = 8.97 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​30 VR2​10 ΩAR4​8 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 15 + 8 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 10·23/(10+23) = 6.97 Ω
Req = R1 + 6.97 = 2 + 6.97 = 8.97 Ω

答案

Req = 8.97 Ω
8.串并联电阻

答案: IR1 = 1.606 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 4 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAR4​12 ΩBR6​4 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 30 + 4 = 34 Ω
R4 ∥ 34 = 8.87 Ω
R3 + 8.87 = 13.87 Ω
R2 ∥ 13.87 = 7.206 Ω
Req = R1 + 7.206 = 4 + 7.206 = 11.21 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 18/11.21 = 1.606 A

答案

IR1 = 1.606 A
9.戴维南和诺顿

答案: IN = 0.4688 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω短路R2​12 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·12/(8+12) = 4.8 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4.8 + 8 = 12.8 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·12/(8+12) = 6 V
IN​0.4688 ARth​12.8 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 6/12.8 = 0.4688 A
10.戴维南和诺顿

答案: PL = 10.75 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 12 ΩR3​ = 5 Ω短路R2​6 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 12·6/(12+6) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 5 = 9 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAIs​2.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3 + 2.5·4 = 13 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 13 + 2.5·5 = 25.5 V
Rth​ = 9 Ω+−Vth​25.5 VRL​2 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 25.5/(9 + 2) = 2.318 A
PL = IL²·RL = 2.318²·2 = 10.75 W

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation