测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−5 V220 Ω220 Ω + ΔR220 Ω220 Ωab+−Vab​ = ?

某电桥的四个臂均为 220 Ω，Vs = 5 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 0.55 Ω。用小变化近似求输出 Vab，单位为 mV。

Vs = 5 VR = 220 ΩΔR = 0.55 Ω
Vab = mV
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−3 V1000 Ω1000 Ω + ΔR1000 Ω1000 Ωab+−1.8 mV

某 1/4 桥有一个工作应变片（GF = 2），激励电压为 3 V。受载时输出读数为 1.8 mV。求应变 ε，单位为 µε。

Vs = 3 VGF = 2Vo = 1.8 mV
ε = µε
3.数据采集与采样中等
128⋮8 ch∿01N = 165 kHz? MB

一台记录仪用 16 位 ADC 对 8 个通道各以 5 kHz 采样。每个采样点以整数个字节存储。求 1 min 记录所需的内存 M，单位 MB（1 MB = 10⁶ 字节）。

n = 8fs = 5 kHzN = 16t = 1 min
M = MB
4.数据采集与采样困难
f0fs​/2fs​14 kHz3f₁?

一个 14 kHz 方波在没有抗混叠滤波器的情况下以 50 kHz 采样。方波含有奇次谐波 3f₁、5f₁、7f₁、…… 它的谐波 3f₁ 在采样数据中出现在哪个频率 fa？以 kHz 给出。

f₁ = 14 kHzfs = 50 kHz谐波: 3f₁
fa = kHz
5.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = ?R1​ = 1 kΩVin​

选择反馈电阻 Rf，使该同相放大器的电压增益为 11。

R1 = 1 kΩAv = 11
Rf = kΩ
6.运放电路困难
−+Vout​Rf​ = 10 kΩV1​ = 1.1 VR1​ = 100 kΩV2​ = 0.8 VR2​ = 47 kΩ

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。 求输出电压 Vout。

V1 = 1.1 VV2 = 0.8 VR1 = 100 kΩR2 = 47 kΩRf = 10 kΩ
Vout = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 4 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩIR2​AR4​10 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 9 VR1 = 4 ΩR2 = 6 ΩR3 = 20 ΩR4 = 10 Ω
IR2 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 20 ΩIR1​R3​ = 25 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​36 VR2​10 ΩAR4​4 ΩBR6​25 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 36 VR1 = 20 ΩR2 = 10 ΩR3 = 25 ΩR4 = 4 ΩR5 = 10 ΩR6 = 25 Ω
IR1 = A
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 20 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​20 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 9 VR1 = 20 ΩR2 = 20 ΩR3 = 10 Ω
IN = A
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 4 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩAIs​5 ABRL​20 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 20 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 30 VIs = 5 AR1 = 4 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 ΩRL = 20 Ω
IL = A

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: Vab = 3.125 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

相对变化

ΔR/R = 0.55/220 = 0.0025

线性化输出

Vab ≈ 5·0.0025/4 = 3.125 mV

答案

Vab = 3.125 mV

精确值为 3.121 mV；只要 ΔR/R 很小，这个近似就很好。

2.惠斯通电桥与应变片

答案: ε = 1200 µε

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

解 1/4 桥方程

ε = 4·0.0018/(3·2) = 0.0012

以微应变表示

ε = 1200 µε

答案

ε = 1200 µε
3.数据采集与采样

答案: M = 4.8 MB

数据速率：每个通道每秒提供 fs 个 N 位的采样，因此原始速率为 通道数 × fs × N bit/s。在内存中一个采样占用整数个字节（12 位采样存为 2 个字节），因此一段记录的内存为 通道数 × fs × 每个采样的字节数 × 时间。多路复用 ADC 依次转换各通道：每次转换（含建立时间）需要 t，所以 n 个通道转一轮需要 n·t，每个通道的采样频率为 1/(n·t)。

每个采样的字节数

⌈16/8⌉ = 2 B

字节速率

8·5000·2 = 80000 B/s

内存

M = 80000·60 = 4.8 × 10⁶ B = 4.8 MB

答案

M = 4.8 MB
4.数据采集与采样

答案: fa = 8 kHz

采样：ADC 每秒测量信号 fs 次。根据奈奎斯特–香农定理，只有当 f < fs/2（奈奎斯特频率，也称折叠频率）时，频率 f 才能被正确采集，因此采样率必须超过最高信号频率的两倍。更高的频率不会丢失：它会作为混叠出现在 fa = |f − k·fs|，其中整数 k 使结果落在 0 到 fs/2 之间。采样点无法区分二者，因此必须在 ADC 之前用模拟抗混叠滤波器滤除 fs/2 以上的全部成分。

谐波频率

3f₁ = 3·14 kHz = 42 kHz

最接近的采样率整数倍

m = round(0.84) = 1

混叠频率

fa = |42 − 1·50| = 8 kHz

答案

fa = 8 kHz

混叠落在信号频带内，任何数字滤波器都无法去除它。只有在 ADC 之前使用模拟滤波器才有帮助。

5.运放电路

答案: Rf = 10 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = Vin，且流过 R₁ 的电流也流过 Rf，所以 Vout = Vin·(1 + Rf/R₁)。

Av = 1 + Rf/R1
Rf = (11 − 1)·1 = 10 kΩ

答案

Rf = 10 kΩ
6.运放电路

答案: Vout = −0.2802 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I1 = V1/R1 = 1.1/100 = 0.011 mA
I2 = V2/R2 = 0.8/47 = 0.01702 mA
If = I1 + I2 = 0.02802 mA

输出电压

Vout = −Rf·If = −10·0.02802 = −0.2802 V

答案

Vout = −0.2802 V
7.串并联电阻

答案: IR2 = 0.8333 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 4 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAR4​10 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 20 + 10 = 30 Ω
R2 ∥ 30 = 6·30/(6+30) = 5 Ω
Req = R1 + 5 = 4 + 5 = 9 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 9/9 = 1 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 1·4 = 5 V
IR2 = VA/R2 = 5/6 = 0.8333 A

答案

IR2 = 0.8333 A
8.串并联电阻

答案: IR1 = 1.313 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 20 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​36 VR2​10 ΩAR4​4 ΩBR6​25 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 10 + 25 = 35 Ω
R4 ∥ 35 = 3.59 Ω
R3 + 3.59 = 28.59 Ω
R2 ∥ 28.59 = 7.409 Ω
Req = R1 + 7.409 = 20 + 7.409 = 27.41 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 36/27.41 = 1.313 A

答案

IR1 = 1.313 A
9.戴维南和诺顿

答案: IN = 0.225 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 20 ΩR3​ = 10 Ω短路R2​20 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 20·20/(20+20) = 10 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 10 + 10 = 20 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​20 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·20/(20+20) = 4.5 V
IN​0.225 ARth​20 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 4.5/20 = 0.225 A
10.戴维南和诺顿

答案: IL = 2.019 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 4 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​12 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 4·12/(4+12) = 3 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3 + 3 = 6 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 22.5 + 5·3 = 37.5 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 37.5 + 5·3 = 52.5 V
Rth​ = 6 Ω+−Vth​52.5 VRL​20 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 52.5/(6 + 20) = 2.019 A

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