轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 40 mm，长 500 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 40 mm，长 300 mm，E = 100 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.25 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 35 kN第 1 段：Ø40 mm，0.5 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø12 mm，1.5 m，铜（E = 117 GPa）
σmax = MPa
3.轴的扭转中等
一根空心轴须承受 250 N·m 的扭矩。 其内径为外径的 0.75 倍，切应力不得超过 40 MPa。求最小外径 do。
T = 250 N·mdi/do = 0.75τallow = 40 MPa
do = mm
4.轴的扭转困难
一根直径 40 mm 的实心黄铜轴在 A 端固定。距 A 3 m 的 B 处作用 100 N·m 的扭矩，再往前 2 m 的自由端 C 处作用一个同向的 1000 N·m 扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。
d = 40 mmTB = 100 N·mTC = 1000 N·mAB = 3 mBC = 2 m
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 6 mw = 12 kN/m，从 0 到 6 mx = 5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 4 mP = 30 kN 位于 1 mw = 10 kN/m，从 0 到 4 mx = 1.5 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
槽形截面开口朝上：由宽 280 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 200 mm。底板和两肢厚度均为 8 mm。 求形心到底边的高度 ȳ。
b = 280 mmh = 200 mmt = 8 mm
ȳ = mm
8.形心和惯性矩困难
T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 15 kN·m 的正弯矩。 求底边的弯曲应力 σ底部。
bf = 200 mmtf = 20 mmtw = 18 mmhw = 220 mmM = 15 kN·m
σ底部 = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 100 MPa，σᵧ = 90 MPa，τₓᵧ = 10 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。
σx = 100 MPaσy = 90 MPaτxy = 10 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
一根直径 30 mm 的实心轴承受200 N·m 的弯矩，同时承受 750 N·m 的扭矩。 在弯曲应力为拉应力且最大的上表面处， 求最大主应力 σ1。
d = 30 mmM = 200 N·mT = 750 N·m
σ1 = MPa
11.梁的挠度中等
长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 4.5 m 处承受集中荷载 P。 求自由端 B 处的挠度 δB。
P = 2 kNa = 4.5 mL = 5 mE = 200 GPa (钢)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.梁的挠度困难
简支梁在距支座 B 为 b = 2 m 处承受集中荷载 P。 求梁的最大挠度 δmax。
P = 21 kNb = 2 mL = 5 mE = 70 GPa (铝)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，两端铰接。它需承受 115 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 115 kNn = 3L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 57.12 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·1257) = 2.387 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.25/4.377 × 10⁻⁶ = 57120 N = 57.12 kN
答案
P = 57.12 kN
2.轴向应力与应变
答案: σmax = 309.5 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 27.85 MPa
σ2 = 309.5 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 309.5 MPa
答案
σmax = 309.5 MPa
3.轴的扭转
答案: do = 35.98 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
由容许应力求外径
T = 250 N·m = 250000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·40·0.6836)) = 35.98 mm
di = 0.75·35.98 = 26.98 mm
答案
do = 35.98 mm
实心轴需要 d = 31.69 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
4.轴的扭转
答案: τmax = 87.54 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
内扭矩
取 TC 的转向为正。
TBC = TC = 1000 N·m
TAB = TC + TB = 1000 + 100 = 1100 N·m
最大切应力
内扭矩最大的一段应力最大（直径相同）。
|T|max = 1100 N·m
τmax = 16·1.1 × 10⁶/(π·40³) = 87.54 MPa
答案
τmax = 87.54 MPa
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 30 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 12·6·3
RB = 216/6 = 36 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 36 = 36 kN
在 x = 5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 36·5 − 12·5·2.5 = 30 kN·m
答案
Mx = 30 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 37.5 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 30·1 + 10·4·2
RB = 110/4 = 27.5 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 27.5 = 42.5 kN
在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 42.5·1.5 − 30·(1.5 − 1) − 10·1.5·0.75 = 37.5 kN·m
答案
Mx = 37.5 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: ȳ = 61.83 mm
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成若干矩形
底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。
基质: A1 = 280·8 = 2240 mm², y1 = 4 mm
两肢: A2 = 2·8·192 = 3072 mm², y2 = 8 + 192/2 = 104 mm
形心
ȳ = (2240·4 + 3072·104)/5312 = 61.83 mm
答案
ȳ = 61.83 mm
8.形心和惯性矩
答案: σ底部 = 57.07 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 200·20 = 4000 mm², yf = 220 + 20/2 = 230 mm
腹板: Aw = 18·220 = 3960 mm², yw = 220/2 = 110 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4000·230 + 3960·110)/7960 = 170.3 mm
平行移轴定理
翼缘: 200·20³/12 + 4000·(230 − 170.3)² = 1.439 × 10⁷ mm⁴
腹板: 18·220³/12 + 3960·(110 − 170.3)² = 3.037 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.439 × 10⁷ + 3.037 × 10⁷ = 4.476 × 10⁷ mm⁴
弯曲应力
底边距中性轴 ȳ。
y = 170.3 mm
σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·170.3/4.476 × 10⁷ = 57.07 MPa
答案
σ底部 = 57.07 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: τabs = 53.09 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。
面内主应力
C = 95 MPa, R = √(5² + 10²) = 11.18 MPa
σ1 = 106.2 MPa, σ2 = 83.82 MPa, σz = 0
三个圆中最大的
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(22.36, 106.2, 83.82)/2 = 53.09 MPa
答案
τabs = 53.09 MPa
这里由面外的圆控制：绝对最大值大于面内最大值 R。
10.莫尔圆与应力变换
答案: σ1 = 184.1 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
表面处的应力
σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·30³) = 75.45 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·30³) = 141.5 MPa
莫尔圆
C = σ/2 = 37.73 MPa
R = √(37.73² + 141.5²) = 146.4 MPa
σ1 = C + R = 184.1 MPa
σ2 = C − R = −108.7 MPa
答案
σ1 = 184.1 MPa
11.梁的挠度
答案: δB = 41.69 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 2000 N, a = 4500 mm, L = 5000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
自由端的挠度
荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。
δP = Pa³/(3EI) = 35.74 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.01191 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 41.69 mm
答案
δB = 41.69 mm
12.梁的挠度
答案: δmax = 8.819 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 21000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²
最大值的位置
令较长段内的转角为零，即可得到该位置。
x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 2000²)/3) = 2646 mm
最大挠度
δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 8.819 mm
答案
δmax = 8.819 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 24.22 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1250² = 24224 N = 24.22 kN
答案
Pcr = 24.22 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 89.3 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·115000 = 345000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·345000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 89.3 mm
答案
d = 89.3 mm
校核：长细比 KL/r 为 112，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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