轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 30 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 30 mm，长 300 mm，E = 70 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.2 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 35 kN第 1 段：Ø30 mm，1.5 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø16 mm，1.5 m，黄铜（E = 100 GPa）
δ = mm
3.轴的扭转中等
一根空心黄铜轴（外径 60 mm，内径 45 mm，长 3 m）一端固定，另一端受 1000 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。
T = 1000 N·mdo = 60 mmdi = 45 mmL = 3 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴须在 750 rpm 下传递 10 kW。 其内径为外径的 0.5 倍，切应力不得超过 80 MPa。求最小外径 do。
P = 10 kWN = 750 rpmdi/do = 0.5τallow = 80 MPa
do = mm
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
45 kN @ 8 m25 kN @ 4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.剪力和弯矩困难
简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 4 mP = 70 kN 位于 1.5 mw = 3 kN/m，从 0 到 4 m
Mmax = kN·m
7.形心和惯性矩中等
求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 18 mmhw = 300 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
焊接工字形截面的上翼缘为 150 × 16 mm，腹板高 390 mm、厚 8 mm，下翼缘为 240 × 20 mm（宽 × 厚）。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
上翼缘: 150 × 16 mm腹板: 8 × 390 mm下翼缘: 240 × 20 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 10 MPa，σᵧ = 50 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = 10 MPaσy = 50 MPaτxy = 60 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −60 MPa，σᵧ = 110 MPa，τₓᵧ = −30 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 20° 的截面上的正应力 σθ。
σx = −60 MPaσy = 110 MPaτxy = −30 MPaθ = -20°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。
P = 25 kNw = 2 kN/mL = 1.5 mE = 200 GPa (钢)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。
L = 3 mw = 8 kN/m
RB = kN
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 145 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 145 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 24.43 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706.9) = 2.122 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·706.9) = 6.063 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.2/8.185 × 10⁻⁶ = 24435 N = 24.43 kN
答案
P = 24.43 kN
2.轴向应力与应变
答案: δ = 3.354 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 49.51 MPa
σ2 = 174.1 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 49.51·1500/100000 = 0.7427 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 174.1·1500/100000 = 2.611 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.354 mm
答案
δ = 3.354 mm
3.轴的扭转
答案: φ = 5.067 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴
扭转角
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·3000/(39000·869767) = 0.08844 rad
φ = 0.08844·180/π = 5.067°
答案
φ = 5.067°
4.轴的扭转
答案: do = 20.52 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 10000/78.54 = 127.3 N·m
由容许应力求外径
T = 127.3 N·m = 127324 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·127324/(π·80·0.9375)) = 20.52 mm
di = 0.5·20.52 = 10.26 mm
答案
do = 20.52 mm
实心轴需要 d = 20.09 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
5.剪力和弯矩
答案: E (x = 8 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 31.67 kN, R2 = 38.33 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 63.33, MC = 126.7, MD = 140, ME = 153.3 kN·m, MF = 76.67, MG = 0
答案
标记点 E: ME = 153.3 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mmax = 71.25 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 70·1.5 + 3·4·2
RB = 129/4 = 32.25 kN
ΣFy = 0: RA = 82 − 32.25 = 49.75 kN
V = 0 在哪里？
V(1.5⁻) = RA − w·1.5 = 45.25 kN
V(1.5⁺) = 45.25 − 70 = −24.75 kN
剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。
最大弯矩
Mmax = RA·1.5 − w·1.5²/2 = 49.75·1.5 − 3·1.5²/2 = 71.25 kN·m
答案
Mmax = 71.25 kN·m
它出现在距 A 为 x = 1.5 m 处。
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 82.69 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 300 + 10/2 = 305 mm
腹板: Aw = 18·300 = 5400 mm², yw = 300/2 = 150 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2600·305 + 5400·150)/8000 = 200.4 mm
平行移轴定理
翼缘: 260·10³/12 + 2600·(305 − 200.4)² = 2.848 × 10⁷ mm⁴
腹板: 18·300³/12 + 5400·(150 − 200.4)² = 5.42 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.848 × 10⁷ + 5.42 × 10⁷ = 8.269 × 10⁷ mm⁴ = 82.69 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 82.69 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 316.5 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成三个矩形
每个 y 都从底边量起。
上翼缘: A = 2400 mm², y = 418 mm
腹板: A = 3120 mm², y = 215 mm
下翼缘: A = 4800 mm², y = 10 mm
形心
ȳ = (2400·418 + 3120·215 + 4800·10)/10320 = 166.9 mm
平行移轴定理
上翼缘: 150·16³/12 + 2400·251.1² = 1.514 × 10⁸ mm⁴
腹板: 8·390³/12 + 3120·48.14² = 4.678 × 10⁷ mm⁴
下翼缘: 240·20³/12 + 4800·156.9² = 1.183 × 10⁸ mm⁴
Ix = 1.514 × 10⁸ + 4.678 × 10⁷ + 1.183 × 10⁸
Ix = 3.165 × 10⁸ mm⁴ = 316.5 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 316.5 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 63.25 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((10 − 50)/2)² + 60²) = 63.25 MPa
答案
τmax = 63.25 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −20.83 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 25 + −85·0.766 + −30·−0.6428 = −20.83 MPa
答案
σθ = −20.83 MPa
11.梁的挠度
答案: δ = 1.749 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 25000 N, w = 2 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(3EI) = 25000·1500³/(3·1.68 × 10¹³) = 1.674 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 2·1500⁴/(8·1.68 × 10¹³) = 0.07533 mm
相加
δ = 1.674 + 0.07533 = 1.749 mm
答案
δ = 1.749 mm
12.梁的挠度
答案: RB = 9 kN
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = wL⁴/(8EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·8·3/8 = 9 kN
答案
RB = 9 kN
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 41.78 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/1050² = 41776 N = 41.78 kN
答案
Pcr = 41.78 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 144.1 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·145000 = 290000 N
KL = 2·6000 = 12000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·12000²/(π³·200000))^(1/4) = 144.1 mm
答案
d = 144.1 mm
校核：长细比 KL/r 为 333.1，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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