轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求钢杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 70 kNd = 16 mmL = 1 mE = 200 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 25 kN第 1 段：Ø40 mm，2 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø16 mm，2 m，钢（E = 200 GPa）
σmax = MPa
3.轴的扭转中等
一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 500 N·md = 50 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 750 rpm 下传递 5 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 5 kWN = 750 rpmdo = 40 mmdi = 32 mm
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 4 mw = 12 kN/m，从 0 到 4 mx = 1 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 8 mP = 60 kN 位于 1 mw = 12 kN/m，从 0 到 8 m
Mmax = kN·m
7.形心和惯性矩中等
槽形截面开口朝上：由宽 160 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 200 mm。底板和两肢厚度均为 10 mm。 求形心到底边的高度 ȳ。
b = 160 mmh = 200 mmt = 10 mm
ȳ = mm
8.形心和惯性矩困难
对称工字形截面的翼缘宽 140 mm、厚 12 mm，总高度 440 mm，腹板厚 8 mm。 截面承受绕 x 轴的弯矩 200 kN·m。 求腹板与上翼缘交界处弯曲应力 σj 的大小。
B = 140 mmH = 440 mmtf = 12 mmtw = 8 mmM = 200 kN·m
σj = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 90 MPa，σᵧ = −50 MPa，τₓᵧ = −30 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = 90 MPaσy = −50 MPaτxy = −30 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
一个薄壁圆柱形储罐，内径 1000 mm，壁厚 15 mm，所盛气体的表压为 2 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 20° 的螺旋焊缝焊接而成。 求作用在焊缝上（垂直于焊缝）的正应力 σn。
D = 1000 mmt = 15 mmp = 2 MPaα = 20°
σn = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 15 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 125 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/360。求截面的最小高度 hreq。
w = 1 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)b = 125 mm
hreq = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1 mE = 200 GPa (钢)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 75 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 75 kNn = 2L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: ε = 1741 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 70·1000/201.1 = 348.2 MPa
应变（胡克定律）
E for 钢 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 348.2/200000 = 0.001741 = 1741 µε
答案
ε = 1741 µε
2.轴向应力与应变
答案: σmax = 124.3 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 19.89 MPa
σ2 = 124.3 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 124.3 MPa
答案
σmax = 124.3 MPa
3.轴的扭转
答案: φ = 1.167 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 500·1000·2000/(80000·613592) = 0.02037 rad
φ = 0.02037·180/π = 1.167°
答案
φ = 1.167°
4.轴的扭转
答案: τmax = 8.581 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 5000/78.54 = 63.66 N·m
极惯性矩
J = π(40⁴ − 32⁴)/32 = 148384 mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 63662·20/148384 = 8.581 MPa
答案
τmax = 8.581 MPa
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 18 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 12·4·2
RB = 96/4 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 24·1 − 12·1·0.5 = 18 kN·m
答案
Mx = 18 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mmax = 128.3 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 60·1 + 12·8·4
RB = 444/8 = 55.5 kN
ΣFy = 0: RA = 156 − 55.5 = 100.5 kN
V = 0 在哪里？
RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (100.5 − 60)/12 = 3.375 m
最大弯矩
Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 1) − w·x0²/2 = 128.3 kN·m
答案
Mmax = 128.3 kN·m
它出现在距 A 为 x = 3.375 m 处。
7.形心和惯性矩
答案: ȳ = 75.37 mm
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成若干矩形
底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。
基质: A1 = 160·10 = 1600 mm², y1 = 5 mm
两肢: A2 = 2·10·190 = 3800 mm², y2 = 10 + 190/2 = 105 mm
形心
ȳ = (1600·5 + 3800·105)/5400 = 75.37 mm
答案
ȳ = 75.37 mm
8.形心和惯性矩
答案: σj = 206 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
外矩形减去两侧的空缺部分
两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。
hw = 440 − 2·12 = 416 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (140·440³ − 132·416³)/12
Ix = 2.019 × 10⁸ mm⁴
弯曲应力
y = 220 − 12 = 208 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁸·208/2.019 × 10⁸ = 206 MPa
答案
σj = 206 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 76.16 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((90 − −50)/2)² + −30²) = 76.16 MPa
答案
τmax = 76.16 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: σn = 62.77 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。
筒壁应力
r = 1000/2 = 500 mm
σh = pr/t = 2·500/15 = 66.67 MPa
σa = pr/(2t) = 33.33 MPa
变换到焊缝
取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。
σn = 33.33·sin²20° + 66.67·cos²20° = 62.77 MPa
答案
σn = 62.77 MPa
11.梁的挠度
答案: δmax = 22.2 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 15 N/mm, L = 6000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·6000⁴/(384·1.14 × 10¹³) = 22.2 mm
答案
δmax = 22.2 mm
12.梁的挠度
答案: hreq = 137.8 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 1 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1·4000⁴/(384·11000·11.11) = 2.727 × 10⁷ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·2.727 × 10⁷/125)1/3 = 137.8 mm
答案
hreq = 137.8 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 210.6 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴
计算长度
KL = 2·1000 = 2000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/2000² = 210552 N = 210.6 kN
答案
Pcr = 210.6 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 102.5 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·75000 = 150000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 102.5 mm
答案
d = 102.5 mm
校核：长细比 KL/r 为 195，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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