材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力
σ = F/A
应变
ε = ΔL/L
胡克定律
σ = E·ε
伸长量
ΔL = FL/(EA)
热应变
εT = α·ΔT

轴的扭转

切应力
τ = T·r/J
实心轴
J = πd⁴/32
空心轴
J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角
φ = TL/(GJ)
功率
P = T·ω = 2πnT/60

方法

  1. 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
  2. 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
  3. 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
  4. 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

莫尔圆与应力变换

圆心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主应力
σ1,2 = C ± R
主方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜截面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

方法

  1. 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
  2. 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
  4. 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等
Ø 12 mm铜2 mP = 95 kN

求铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。

P = 95 kNd = 12 mmL = 2 mE = 117 GPa
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
50 kN12400 mm500 mmØ30Ø60σ2​ = ?

一段钢（直径 30 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 60 mm，长 500 mm，E = 110 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 50 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。

第 1 段: 钢, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
3.轴的扭转中等
d = 12 mmT = 40 N·m200 mmφ = 2.81°

在扭转试验中，一根直径 12 mm 的实心试件受 40 N·m 的扭矩作用。标距 200 mm 两端的相对转角为 2.81°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。

T = 40 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 2.81°
G = GPa
4.轴的扭转困难
d = 60 mmTB​ = 100 N·mTC​ = 1000 N·mABC0.5 m1.2 m

一根直径 60 mm 的实心铝轴在 A 端固定。距 A 0.5 m 的 B 处作用 100 N·m 的扭矩，再往前 1.2 m 的自由端 C 处作用一个同向的 1000 N·m 扭矩。 求端部 C 扭转角 φC 的大小，以度表示。

d = 60 mmTB = 100 N·mTC = 1000 N·mAB = 0.5 mBC = 1.2 mG = 26 GPa
φC = °
5.剪力和弯矩中等
P1​ = 55 kNP2​ = 15 kNABC2.5 m3.5 m1 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求荷载 P1 处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 7 mP1 = 55 kN 位于 2.5 mP2 = 15 kN 位于 7 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
w = 10 kN/mAB4 m4 m

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。 求梁中的最大弯矩 Mmax。

L = 8 mw = 10 kN/m，从 4 到 8 m
Mmax = kN·m
7.形心和惯性矩中等
1601022014x尺寸单位为 mm

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。

bf = 160 mmtf = 10 mmtw = 14 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
220152608xM = 5 kN·m尺寸单位为 mm

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 5 kN·m 的正弯矩。 求底边的弯曲应力 σ底部。

bf = 220 mmtf = 15 mmtw = 8 mmhw = 260 mmM = 5 kN·m
σ底部 = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
σx​ = 100σy​ = 110τxy​ = 20MPa

受载零件中某点的应力为 σₓ = 100 MPa，σᵧ = 110 MPa，τₓᵧ = 20 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。

σx = 100 MPaσy = 110 MPaτxy = 20 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
σx​ = 70σy​ = −60τxy​ = −40MPa

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 70 MPa，σᵧ = −60 MPa，τₓᵧ = −40 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 355 MPa。按特雷斯卡（最大切应力）准则求防止屈服的安全系数 n。

σx = 70 MPaσy = −60 MPaτxy = −40 MPaσY = 355 MPa
n =
11.梁的挠度中等
w = 12 kN/mδL = 1.5 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。

w = 12 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
w = 4 kN/mP = 12 kNδL = 6 m

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。

P = 12 kNw = 4 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
PL = 2 md = 20 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 2 mE = 70 GPa (铝)d = 20 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
PL = 3 md = 60 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm
σcr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 14.36 mm

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 95·1000/113.1 = 840 MPa

应变（胡克定律）

E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 840/117000 = 0.007179 = 7179 µε

伸长量

δ = ε·L = 0.007179·2000 mm = 14.36 mm

答案

δ = 14.36 mm
2.轴向应力与应变

答案: σ2 = 11.28 MPa

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

刚度

k₁ = 200000·706.9/400 = 353429 N/mm
k₂ = 110000·2827/500 = 622035 N/mm

第 2 段的份额

F2 = 50000·622035/975465 = 31884 N

应力

σ2 = 31884/2827 = 11.28 MPa （压缩）

答案

σ2 = 11.28 MPa
3.轴的扭转

答案: G = 80.13 GPa

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩和角度

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 2.81·π/180 = 0.04904 rad

剪切模量

T = 40 N·m = 40000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 40000·200/(2036·0.04904) = 80127 MPa
G = 80.13 GPa

答案

G = 80.13 GPa

作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。

4.轴的扭转

答案: φC = 3.031 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

内扭矩

取 TC 的转向为正。

TBC = TC = 1000 N·m
TAB = TC + TB = 1000 + 100 = 1100 N·m

各段的扭转角

J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 1.1 × 10⁶·500/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.01663 rad
φBC = 1 × 10⁶·1200/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.03627 rad

端部 C 的扭转角

φC = 0.01663 + 0.03627 = 0.0529 rad → |φC| = 3.031°

答案

φC = 3.031°
5.剪力和弯矩

答案: Mx = 73.96 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。

ΣMA = 0: RB·6 = 55·2.5 + 15·7
RB = 242.5/6 = 40.42 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 40.42 = 29.58 kN

在 P1 处截开，保留左侧部分

Mx = RA·2.5 = 29.58·2.5 = 73.96 kN·m

答案

Mx = 73.96 kN·m
6.剪力和弯矩

答案: Mmax = 45 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN，作用于 x̄ = 6 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·4·6
RB = 240/8 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 30 = 10 kN

剪力为零

剪力从 RA 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

RA − w·(x0 − 4) = 0
x0 = 4 + 10/10 = 5 m

最大弯矩

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 4)²/2 = 10·5 − 10·1²/2 = 45 kN·m

答案

Mmax = 45 kN·m
7.形心和惯性矩

答案: Ix = 26.36 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: Af = 160·10 = 1600 mm², yf = 220 + 10/2 = 225 mm
腹板: Aw = 14·220 = 3080 mm², yw = 220/2 = 110 mm

形心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1600·225 + 3080·110)/4680 = 149.3 mm

平行移轴定理

翼缘: 160·10³/12 + 1600·(225 − 149.3)² = 9.178 × 10⁶ mm⁴
腹板: 14·220³/12 + 3080·(110 − 149.3)² = 1.718 × 10⁷ mm⁴
Ix = 9.178 × 10⁶ + 1.718 × 10⁷ = 2.636 × 10⁷ mm⁴ = 26.36 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 26.36 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩

答案: σ底部 = 29.85 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: Af = 220·15 = 3300 mm², yf = 260 + 15/2 = 267.5 mm
腹板: Aw = 8·260 = 2080 mm², yw = 260/2 = 130 mm

形心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3300·267.5 + 2080·130)/5380 = 214.3 mm

平行移轴定理

翼缘: 220·15³/12 + 3300·(267.5 − 214.3)² = 9.388 × 10⁶ mm⁴
腹板: 8·260³/12 + 2080·(130 − 214.3)² = 2.651 × 10⁷ mm⁴
Ix = 9.388 × 10⁶ + 2.651 × 10⁷ = 3.59 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 214.3 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·214.3/3.59 × 10⁷ = 29.85 MPa

答案

σ底部 = 29.85 MPa
9.莫尔圆与应力变换

答案: τmax = 20.62 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

σxyCτmax​

莫尔圆半径

τmax = R = √(((100 − 110)/2)² + 20²) = 20.62 MPa

答案

τmax = 20.62 MPa
10.莫尔圆与应力变换

答案: n = 2.326

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。

στxyCσ1​σ2​

主应力

C = 5 MPa, R = 76.32 MPa
σ1 = 81.32 MPa, σ2 = −71.32 MPa, σ3 = 0

特雷斯卡

σmax − σmin = 152.6 MPa
n = 355/152.6 = 2.326

答案

n = 2.326

n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。

11.梁的挠度

答案: δmax = 8.46 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 12 N/mm, L = 1500 mm
EI = 9.35 × 10¹⁰ N·mm²

挠度

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·1500⁴/(384·9.35 × 10¹⁰) = 8.46 mm

答案

δmax = 8.46 mm
12.梁的挠度

答案: δmax = 50.63 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 12000 N, w = 4 N/mm, L = 6000 mm, EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δP = PL³/(48EI) = 12000·6000³/(48·2.4 × 10¹²) = 22.5 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·6000⁴/(384·2.4 × 10¹²) = 28.13 mm

相加

δmax = 22.5 + 28.13 = 50.63 mm

答案

δmax = 50.63 mm
13.柱的屈曲

答案: Pcr = 5.426 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1000² = 5426 N = 5.426 kN

答案

Pcr = 5.426 kN
14.柱的屈曲

答案: σcr = 49.35 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

回转半径和长细比

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·3000 = 3000 mm
KL/r = 3000/15 = 200

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa

答案

σcr = 49.35 MPa

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