材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

一根杆由一段钢（直径 30 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 40 mm，长 200 mm，E = 70 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.4 mm 的轴向载荷 P。

第 1 段: 钢, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø40 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

2.轴向应力与应变困难

一根钢杆（直径 40 mm，E = 200 GPa，许用应力 200 MPa）放在一根黄铜管（外径 120 mm，内径 60 mm，E = 100 GPa，许用应力 80 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 P_max。

杆: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.轴的扭转中等

一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。

T = 100 N·md = 20 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.轴的扭转困难

一根实心钢轴在 1500 rpm 下传递 75 kW。切应力不得超过 75 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 0.5°。求同时满足两个限值的最小直径 d。

P = 75 kWN = 1500 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0.5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 3 kN/m，从 0 到 4 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 35 kN 位于 2 mw = 10 kN/m，从 0 到 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.形心和惯性矩中等

圆管外径 D = 260 mm，内径 d = 232 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

D = 260 mmd = 232 mm

r = mm

8.形心和惯性矩困难

一块 120 mm × 200 mm 的板有一个宽 50 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 80 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 200 mm切口: 50 × 30 mm孔心: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.莫尔圆与应力变换中等

受载零件中某点的应力为 σₓ = 160 MPa，σᵧ = 10 MPa，τₓᵧ = −50 MPa（拉为正）。求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θ_p，取值在 −90° 到 90° 之间。

σ_x = 160 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

10.莫尔圆与应力变换困难

受载零件中某点的应力为 σₓ = 70 MPa，σᵧ = −30 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。求法线由 x 轴顺时针转过 20° 的截面上的切应力 τ_θ（正方向与 τₓᵧ 相同）。

σ_x = 70 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

11.梁的挠度中等

简支梁在距支座 A 为 a = 4.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δ_P。

P = 6 kNa = 4.5 mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δ_max。

P = 8 kNw = 10 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: P = 61.37 kN

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1257 mm²

柔度

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706.9) = 4.244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·1257) = 2.274 × 10⁻⁶ mm/N

载荷

P = 0.4/6.518 × 10⁻⁶ = 61371 N = 61.37 kN

答案

P = 61.37 kN

2.轴向应力与应变

答案: P_max = 879.6 kN

面积

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·8482 = 1.1 × 10⁹ N

控制应变

ε = min(0.001, 0.0008) = 0.0008 (黄铜)

最大载荷

P_max = 0.0008·1.1 × 10⁹ = 879646 N = 879.6 kN

答案

P_max = 879.6 kN

3.轴的扭转

答案: φ = 9.119 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

扭转角

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(80000·15708) = 0.1592 rad

φ = 0.1592·180/π = 9.119°

答案

φ = 9.119°

4.轴的扭转

答案: d = 51.37 mm

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 75000/157.1 = 477.5 N·m

按强度求直径

T = 477.5 N·m = 477465 N·mm

d_τ = ∛(16·477465/(π·75)) = 31.89 mm

按刚度求直径

θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·477465/(π·80000·8.727 × 10⁻⁶))^1/4 = 51.37 mm

控制直径

两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。

d = max(31.89, 51.37) = 51.37 mm

答案

d = 51.37 mm

这里由刚度控制。

5.剪力和弯矩

答案: M_x = 5.625 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 3·4·2

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 6·1.5 − 3·1.5·0.75 = 5.625 kN·m

答案

M_x = 5.625 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 55 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·2 + 10·4·2

R_B = 150/4 = 37.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 37.5 = 37.5 kN

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 37.5·2 − 10·2·1 = 55 kN·m

答案

M_x = 55 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: r = 87.11 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

A = π(D² − d²)/4 = 10820 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 8.211 × 10⁷ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(8.211 × 10⁷/10820) = 87.11 mm

答案

r = 87.11 mm

8.形心和惯性矩

答案: I_x = 79.25 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (24000·100 − 1500·80)/(24000 − 1500) = 101.3 mm

完整的板关于 ȳ

120·200³/12 + 24000·−1.333² = 80.04 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

50·30³/12 + 1500·−21.33² = 0.7952 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 79.25 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 79.25 × 10⁶ mm⁴

9.莫尔圆与应力变换

答案: θ_p = −16.85 °

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

圆上的角度

在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。

2θ_p = atan2(2·−50, 160 − 10) = −33.69°

单元体上的角度

θ_p = −16.85°

答案

θ_p = −16.85°

逆时针方向的角度为正。

10.莫尔圆与应力变换

答案: τ_θ = 55.12 MPa

变换公式

τ_θ = −50·−0.6428 + 30·0.766 = 55.12 MPa

答案

τ_θ = 55.12 MPa

11.梁的挠度

答案: δ_P = 2.109 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 6000 N, a = 4500 mm, b = 1500 mm, L = 6000 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

荷载作用处的挠度

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 6000·4500²·1500²/(3·7.2 × 10¹²·6000) = 2.109 mm

答案

δ_P = 2.109 mm

12.梁的挠度

答案: δ_max = 24 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 8000 N, w = 10 N/mm, L = 3000 mm, EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(48EI) = 8000·3000³/(48·6.27 × 10¹¹) = 7.177 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·6.27 × 10¹¹) = 16.82 mm

相加

δ_max = 7.177 + 16.82 = 24 mm

答案

δ_max = 24 mm

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 313.9 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

计算长度

KL = 2·1000 = 2000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313.9 kN

答案

P_cr = 313.9 kN

14.柱的屈曲

答案: σ_cr = 44.22 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/10 = 125

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/125² = 44.22 MPa

答案

σ_cr = 44.22 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials