轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求铝杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 25 kNd = 20 mmL = 1.5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 40 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 40 mm，长 500 mm，E = 70 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 30 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø40 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.轴的扭转中等
一根空心黄铜轴（外径 50 mm，内径 25 mm，长 2.5 m）一端固定，另一端受 750 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。
T = 750 N·mdo = 50 mmdi = 25 mmL = 2.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 40 mm 的实心黄铜轴在 A 端固定。距 A 2.5 m 的 B 处作用 400 N·m 的扭矩，再往前 1.5 m 的自由端 C 处作用一个同向的 500 N·m 扭矩。 求端部 C 扭转角 φC 的大小，以度表示。
d = 40 mmTB = 400 N·mTC = 500 N·mAB = 2.5 mBC = 1.5 mG = 39 GPa
φC = °
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 4 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mw = 2 kN/m，从 0 到 5 mx = 4 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mP = 15 kN 位于 3 mw = 3 kN/m，从 0 到 5 mx = 3 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
bf = 180 mmtf = 30 mmtw = 12 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 20 kN·m 的正弯矩。 求顶边弯曲应力 σ顶部 的大小。
bf = 280 mmtf = 25 mmtw = 12 mmhw = 200 mmM = 20 kN·m
σ顶部 = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 40 MPa，σᵧ = 10 MPa，τₓᵧ = −10 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。
σx = 40 MPaσy = 10 MPaτxy = −10 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
一个薄壁圆柱形储罐，内径 600 mm，壁厚 15 mm，所盛气体的表压为 3 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 60° 的螺旋焊缝焊接而成。 求作用在焊缝上（垂直于焊缝）的正应力 σn。
D = 600 mmt = 15 mmp = 3 MPaα = 60°
σn = MPa
11.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。
w = 2 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.梁的挠度困难
简支梁在三分点处（距每个支座 L/3）承受两个相等的集中荷载 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 17 kNL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 120 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 120 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: ε = 1137 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 25·1000/314.2 = 79.58 MPa
应变（胡克定律）
E for 铝 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 79.58/70000 = 0.001137 = 1137 µε
答案
ε = 1137 µε
2.轴向应力与应变
答案: σ2 = 4.143 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm
k₂ = 70000·1257/500 = 175929 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 30000·175929/1.014 × 10⁶ = 5207 N
应力
σ2 = 5207/1257 = 4.143 MPa （压缩）
答案
σ2 = 4.143 MPa
3.轴的扭转
答案: φ = 4.789 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴
扭转角
T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 2.5 m = 2500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 750000·2500/(39000·575243) = 0.08358 rad
φ = 0.08358·180/π = 4.789°
答案
φ = 4.789°
4.轴的扭转
答案: φC = 17.54 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
内扭矩
取 TC 的转向为正。
TBC = TC = 500 N·m
TAB = TC + TB = 500 + 400 = 900 N·m
各段的扭转角
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 900000·2500/(39000·251327) = 0.2296 rad
φBC = 500000·1500/(39000·251327) = 0.07652 rad
端部 C 的扭转角
φC = 0.2296 + 0.07652 = 0.3061 rad → |φC| = 17.54°
答案
φC = 17.54°
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 4 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 2·5·2.5
RB = 25/5 = 5 kN
ΣFy = 0: RA = 10 − 5 = 5 kN
在 x = 4 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 5·4 − 2·4·2 = 4 kN·m
答案
Mx = 4 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 27 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 15·3 + 3·5·2.5
RB = 82.5/5 = 16.5 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 16.5 = 13.5 kN
在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 13.5·3 − 3·3·1.5 = 27 kN·m
答案
Mx = 27 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 48.46 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 180·30 = 5400 mm², yf = 240 + 30/2 = 255 mm
腹板: Aw = 12·240 = 2880 mm², yw = 240/2 = 120 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5400·255 + 2880·120)/8280 = 208 mm
平行移轴定理
翼缘: 180·30³/12 + 5400·(255 − 208)² = 1.231 × 10⁷ mm⁴
腹板: 12·240³/12 + 2880·(120 − 208)² = 3.615 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.231 × 10⁷ + 3.615 × 10⁷ = 4.846 × 10⁷ mm⁴ = 48.46 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 48.46 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: σ顶部 = 26.61 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 280·25 = 7000 mm², yf = 200 + 25/2 = 212.5 mm
腹板: Aw = 12·200 = 2400 mm², yw = 200/2 = 100 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7000·212.5 + 2400·100)/9400 = 183.8 mm
平行移轴定理
翼缘: 280·25³/12 + 7000·(212.5 − 183.8)² = 6.14 × 10⁶ mm⁴
腹板: 12·200³/12 + 2400·(100 − 183.8)² = 2.484 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6.14 × 10⁶ + 2.484 × 10⁷ = 3.098 × 10⁷ mm⁴
弯曲应力
顶边距中性轴 h − ȳ。
y = 225 − 183.8 = 41.22 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·41.22/3.098 × 10⁷ = 26.61 MPa
答案
σ顶部 = 26.61 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: τabs = 21.51 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。
面内主应力
C = 25 MPa, R = √(15² + (−10)²) = 18.03 MPa
σ1 = 43.03 MPa, σ2 = 6.972 MPa, σz = 0
三个圆中最大的
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(36.06, 43.03, 6.972)/2 = 21.51 MPa
答案
τabs = 21.51 MPa
这里由面外的圆控制：绝对最大值大于面内最大值 R。
10.莫尔圆与应力变换
答案: σn = 37.5 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。
筒壁应力
r = 600/2 = 300 mm
σh = pr/t = 3·300/15 = 60 MPa
σa = pr/(2t) = 30 MPa
变换到焊缝
取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。
σn = 30·sin²60° + 60·cos²60° = 37.5 MPa
答案
σn = 37.5 MPa
11.梁的挠度
答案: δ = 2.813 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 3000 mm
EI = 7.2 × 10¹² N·mm²
挠度
δ = wL⁴/(8EI) = 2·3000⁴/(8·7.2 × 10¹²) = 2.813 mm
答案
δ = 2.813 mm
12.梁的挠度
答案: δmax = 5.431 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 17000 N, L = 6000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²
一个荷载位于 L/3 处
δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm
δ₁ = 2.715 mm
两个荷载相加
δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 5.431 mm
答案
δmax = 5.431 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 374.3 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴
计算长度
KL = 1·1500 = 1500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/1500² = 374314 N = 374.3 kN
答案
Pcr = 374.3 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 63.62 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·120000 = 360000 N
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·360000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 63.62 mm
答案
d = 63.62 mm
校核：长细比 KL/r 为 132，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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