公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
某直流电机的 k = 0.2 N·m/A，Ra = 0.5 Ω，接到 48 V 电源上。求它的堵转转矩 Tstall，即转速为零时的转矩。
某 48 V 直流电机的电枢电阻为 0.5 Ω。求把起动电流限制在 40 A 的串联起动电阻 Rst。
一个 80 mm 的带轮以 960 rpm 通过皮带驱动一个 400 mm 的带轮，打滑率为 2 %。求从动轮的转速 n2。
一台 11 kW、2900 rpm 的电动机驱动齿轮 A（36 齿），A 与齿轮 B（80 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（15 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（32 齿）。每对齿轮啮合的效率为 96%。求输出转矩 Tout。
一个 3.4 kHz 的正弦波在没有抗混叠滤波器的情况下以 2 kHz 采样。它在采样中出现在哪个频率 fa？以 Hz 给出。
一个 12 位 ADC 通过 UART 以 19200 波特、8N1 格式（起始位、8 个数据位、1 个停止位）发送每个采样点。每个采样点以 2 个整字节发送，且链路一直处于忙碌状态。求能无混叠采样的最高信号频率 fmax，单位 Hz。
一个电阻为 50 Ω 的检流计接在图示电桥的 a 和 b 之间（Vs = 3 V）。求从 a 流向 b 的检流计电流 Ig，单位为 µA。
某 1/4 桥（一个工作应变片，GF = 2）的激励电压为 5 V。要测量的最大应变为 250 µε，它在模数转换器输入端必须给出 2.5 V。求放大器增益 G。
过程 G(s) = 1/(10s + 1) 由比例增益 K = 9 在单位负反馈回路中控制。求阶跃输入的稳态误差 ess，以阶跃大小的百分数表示。
比例控制器 K = 4 在单位负反馈回路中控制对象 G(s) = 5/(s(s + 4))。 用 ts ≈ 4/(ζωₙ)，求阶跃响应的 2 % 调节时间 ts。
某系统的传递函数为 G(s) = 198/(s² + 7s + 99)，输入为单位阶跃。 求阻尼比 ζ。
质量 m = 20 kg 的物体挂在弹簧 k = 5000 N/m 上，带有黏性阻尼器 c = 95 N·s/m（m·x″ + c·x′ + k·x = F）。在静止平衡状态下，突然施加恒力 F = 100 N。 求最大位移 xmax，单位 mm。
答案: Tstall = 19.2 N·m
直流电机：电枢是电阻 Ra 与反电动势 E 串联，所以 V = E + Ia·Ra。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·Ia；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·Ia = T·ω；输入功率为 V·Ia，差值由铜损 Ia²Ra 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − Ra·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/Ra 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/Ra 很大，除非用电阻限流。
答案: Rst = 0.7 Ω
直流电机：电枢是电阻 Ra 与反电动势 E 串联，所以 V = E + Ia·Ra。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·Ia；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·Ia = T·ω；输入功率为 V·Ia，差值由铜损 Ia²Ra 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − Ra·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/Ra 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/Ra 很大，除非用电阻限流。
随着电机加速、反电动势增大，电阻被逐级切除。
答案: n2 = 188.2 rpm
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
答案: Tout = 158.3 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
答案: fa = 600 Hz
采样：ADC 每秒测量信号 fs 次。根据奈奎斯特–香农定理，只有当 f < fs/2（奈奎斯特频率，也称折叠频率）时，频率 f 才能被正确采集，因此采样率必须超过最高信号频率的两倍。更高的频率不会丢失：它会作为混叠出现在 fa = |f − k·fs|，其中整数 k 使结果落在 0 到 fs/2 之间。采样点无法区分二者，因此必须在 ADC 之前用模拟抗混叠滤波器滤除 fs/2 以上的全部成分。
图中的虚线曲线就是混叠：它恰好通过相同的采样点。
答案: fmax = 480 Hz
UART：异步串行链路把每个字节作为一帧发送：一个起始位（低电平）、若干数据位、一个可选的校验位以及一个或两个停止位（高电平）。波特率是每秒的位数，所以一位持续 Tb = 1/波特率，n 位的一帧持续 n/波特率。常见的 8N1 格式每个字节占 10 位。波特率发生器对时钟分频：波特率 = fclk/(16·D)，其中 D 为整数，因此实际波特率与目标值略有差别；误差在约 2 % 以内通常可以接受。
答案: Ig = 18659 µA
惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。
答案: G = 4000
应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。
答案: ess = 10 %
稳态误差：在单位负反馈回路中，设开环传递函数为 G(s)，则误差为 E(s) = R(s)/(1 + G(s))，由终值定理得 ess = lims→0 s·E(s)。系统型别是 G(s) 在 s = 0 处的极点个数。误差常数为 Kp = lim G(s)、Kv = lim s·G(s) 和 Ka = lim s²·G(s)，均取 s → 0。大小为 A 的阶跃输入给出 ess = A/(1 + Kp)，斜坡 A·t 给出 A/Kv，抛物线 A·t²/2 给出 A/Ka。0 型回路跟踪阶跃有有限误差，1 型回路能无误差跟踪阶跃，跟踪斜坡则有有限误差。
答案: ts = 2 s
P、PI 和 PID 控制：控制器 C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s 作用于误差。比例增益使回路更快，并减小 0 型对象的误差，但无法将其消除。积分项增加一个 s = 0 处的极点：系统型别升高一级，阶跃输入可以被无误差地跟踪。微分项增加阻尼。选取增益时，写出闭环特征多项式，并与 s² + 2ζωns + ωn² 比较。然后 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)，tp = π/ωd，其中 ωd = ωn√(1 − ζ²)，ts ≈ 4/(ζωn)。
这里调节时间与 K 无关：增大 K 只会使响应振荡得更快。
答案: ζ = 0.3518
阶跃响应：一阶系统 G(s) = K/(τs + 1) 对大小为 U 的阶跃的响应是 y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)：经过一个时间常数 τ 达到终值 K·U 的 63.2 %，经过 4τ 达到 98 %。二阶系统 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) 的极点为 s = −ζωₙ ± jωd，其中 ωd = ωₙ√(1 − ζ²)。当 0 < ζ < 1 时，阶跃响应有超调：百分比超调量 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)，峰值时间 tp = π/ωd，2 % 调节时间 ts ≈ 4/(ζωₙ)。把分母与 s² + 2ζωₙs + ωₙ² 比较，即可读出 ωₙ 和 ζ。对于质量–弹簧–阻尼器，ωₙ = √(k/m)，ζ = c/(2√(km))；对于串联 RLC 电路，ωₙ = 1/√(LC)，ζ = (R/2)·√(C/L)。
分母必须与 s² + 2ζωₙs + ωₙ² 对应。
答案: xmax = 32.41 mm
阶跃响应：一阶系统 G(s) = K/(τs + 1) 对大小为 U 的阶跃的响应是 y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)：经过一个时间常数 τ 达到终值 K·U 的 63.2 %，经过 4τ 达到 98 %。二阶系统 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) 的极点为 s = −ζωₙ ± jωd，其中 ωd = ωₙ√(1 − ζ²)。当 0 < ζ < 1 时，阶跃响应有超调：百分比超调量 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)，峰值时间 tp = π/ωd，2 % 调节时间 ts ≈ 4/(ζωₙ)。把分母与 s² + 2ζωₙs + ωₙ² 比较，即可读出 ωₙ 和 ζ。对于质量–弹簧–阻尼器，ωₙ = √(k/m)，ζ = c/(2√(km))；对于串联 RLC 电路，ωₙ = 1/√(LC)，ζ = (R/2)·√(C/L)。
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