公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
某直流电机的 k = 0.75 V·s/rad，由 220 V 供电。忽略空载时的所有损耗，求它的空载转速 n0，单位为 rpm。
某直流斩波器从 120 V 直流母线给电机（k = 0.15 V·s/rad，Ra = 0.2 Ω）供电。平均电枢电压为 D·120 V。求使电机在 1.8 N·m 负载下以 600 rpm 运转的占空比 D。
一台 1.5 kW、1440 rpm 的电动机驱动一个 4 头的蜗杆。蜗轮有 45 个齿，传动效率为 55%。求蜗轮轴上的输出转矩 Tw。
一条开口皮带把一个以 1500 rpm 转动、直径 160 mm 的主动轮与一个 500 mm 的带轮相连；中心距为 600 mm。摩擦系数为 0.35，紧边张力不得超过 600 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。
一个输入量程为 0 到 10 V 的 ADC 必须分辨 0.2 mV 或更小的台阶。求最小位数 N。
一个时钟为 32 MHz 的微控制器把其 UART 波特率设为 fclk/(16·D)，其中 D 是四舍五入到最接近值的整数。目标是 38400 波特。求实际波特率的百分比误差（偏快时为正）。
某电桥的四个臂均为 300 Ω，Vs = 2 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 75 Ω。求精确输出 Vab，单位为 mV。
一个 1000 Ω、灵敏系数为 2.1 的应变片贴在钢棒上。受载时其电阻增大了 2.52 Ω。求应变 ε，单位为微应变（µε）。
输入 r(t) = 2 + 5t（阶跃加斜坡）加到 G(s) = 20/(s(s + 2)) 的单位负反馈回路上。求稳态误差 ess。
PI 控制器 C(s) = 5 + 5/s 在单位负反馈回路中控制对象 G(s) = 20/((s + 4)(s + 5))。求斜坡输入 r(t) = 5t 的稳态误差 ess。
某系统的传递函数为 G(s) = 97/(s² + 13s + 97)，输入为单位阶跃。 极点为 s = σ ± jωd。求实部 σ。
单位负反馈回路的 G(s) = K/(s(s + 12))。求使阶跃响应有 5 % 超调量的增益 K。
答案: n0 = 2801 rpm
直流电机：电枢是电阻 Ra 与反电动势 E 串联，所以 V = E + Ia·Ra。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·Ia；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·Ia = T·ω；输入功率为 V·Ia，差值由铜损 Ia²Ra 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − Ra·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/Ra 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/Ra 很大，除非用电阻限流。
答案: D = 9.854 %
直流电机：电枢是电阻 Ra 与反电动势 E 串联，所以 V = E + Ia·Ra。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·Ia；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·Ia = T·ω；输入功率为 V·Ia，差值由铜损 Ia²Ra 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − Ra·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/Ra 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/Ra 很大，除非用电阻限流。
答案: Tw = 61.55 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
答案: P = 4.47 kW
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
答案: N = 16
ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。
答案: e = 0.1603 %
UART：异步串行链路把每个字节作为一帧发送：一个起始位（低电平）、若干数据位、一个可选的校验位以及一个或两个停止位（高电平）。波特率是每秒的位数，所以一位持续 Tb = 1/波特率，n 位的一帧持续 n/波特率。常见的 8N1 格式每个字节占 10 位。波特率发生器对时钟分频：波特率 = fclk/(16·D)，其中 D 为整数，因此实际波特率与目标值略有差别；误差在约 2 % 以内通常可以接受。
误差低于约 2 % 通常可以接受。
答案: Vab = 111.1 mV
惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。
线性估计 Vs·ΔR/(4R) = 125 mV 偏高 12.5 %：1/4 桥并不完全是线性的。
答案: ε = 1200 µε
应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。
答案: ess = 0.5
稳态误差：在单位负反馈回路中，设开环传递函数为 G(s)，则误差为 E(s) = R(s)/(1 + G(s))，由终值定理得 ess = lims→0 s·E(s)。系统型别是 G(s) 在 s = 0 处的极点个数。误差常数为 Kp = lim G(s)、Kv = lim s·G(s) 和 Ka = lim s²·G(s)，均取 s → 0。大小为 A 的阶跃输入给出 ess = A/(1 + Kp)，斜坡 A·t 给出 A/Kv，抛物线 A·t²/2 给出 A/Ka。0 型回路跟踪阶跃有有限误差，1 型回路能无误差跟踪阶跃，跟踪斜坡则有有限误差。
答案: ess = 1
P、PI 和 PID 控制：控制器 C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s 作用于误差。比例增益使回路更快，并减小 0 型对象的误差，但无法将其消除。积分项增加一个 s = 0 处的极点：系统型别升高一级，阶跃输入可以被无误差地跟踪。微分项增加阻尼。选取增益时，写出闭环特征多项式，并与 s² + 2ζωns + ωn² 比较。然后 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)，tp = π/ωd，其中 ωd = ωn√(1 − ζ²)，ts ≈ 4/(ζωn)。
当 s → 0 时，s·C(s) = 5s + 5 → 5。
PI 控制器能完全消除阶跃误差；斜坡则以恒定的滞后被跟踪。
答案: σ = −6.5
阶跃响应：一阶系统 G(s) = K/(τs + 1) 对大小为 U 的阶跃的响应是 y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)：经过一个时间常数 τ 达到终值 K·U 的 63.2 %，经过 4τ 达到 98 %。二阶系统 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) 的极点为 s = −ζωₙ ± jωd，其中 ωd = ωₙ√(1 − ζ²)。当 0 < ζ < 1 时，阶跃响应有超调：百分比超调量 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)，峰值时间 tp = π/ωd，2 % 调节时间 ts ≈ 4/(ζωₙ)。把分母与 s² + 2ζωₙs + ωₙ² 比较，即可读出 ωₙ 和 ζ。对于质量–弹簧–阻尼器，ωₙ = √(k/m)，ζ = c/(2√(km))；对于串联 RLC 电路，ωₙ = 1/√(LC)，ζ = (R/2)·√(C/L)。
分母必须与 s² + 2ζωₙs + ωₙ² 对应。
答案: K = 75.59
阶跃响应：一阶系统 G(s) = K/(τs + 1) 对大小为 U 的阶跃的响应是 y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)：经过一个时间常数 τ 达到终值 K·U 的 63.2 %，经过 4τ 达到 98 %。二阶系统 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) 的极点为 s = −ζωₙ ± jωd，其中 ωd = ωₙ√(1 − ζ²)。当 0 < ζ < 1 时，阶跃响应有超调：百分比超调量 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)，峰值时间 tp = π/ωd，2 % 调节时间 ts ≈ 4/(ζωₙ)。把分母与 s² + 2ζωₙs + ωₙ² 比较，即可读出 ωₙ 和 ζ。对于质量–弹簧–阻尼器，ωₙ = √(k/m)，ζ = c/(2√(km))；对于串联 RLC 电路，ωₙ = 1/√(LC)，ζ = (R/2)·√(C/L)。
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